東京書籍 検定済教科書

数学Ａ

• 整数の除法
• 試行の独立

数学Ｂ

• 事象の独立
• 確率変数
• 母集団分布
• 大数の法則

数学Ａ整数の除法

東京書籍 数学Ａ Advanced

整数の割り算：

aを整数，bを正の整数とし，aをbで割ったときの商をq，余りをrとすると a=bq+r， 0≤r<b

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ａ 317 ISBN978-4-487-16529-2

数学Ａ試行の独立

東京書籍 数学Ａ／数学Ｂ Advanced

不適切な記述（独立な３つの確率変数）

独立な確率変数X，Y，Zに対して，次のことが成り立つ。 E(XYZ)=E(X)·E(Y)·E(Z) V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)

分散は2次の積率なので，2項の V(X+Y)=V(X)+V(Y) や3項の V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z) は，常に2次の E(XY)=E(X)·E(Y) から導かれる。 項数（X+Y+Zの3項）と次数（XYZの3次）を関連付けてはいけない。

教科書の内容は以下のとおり。

東書 数Ａ「試行の独立」とは

試行の独立：

2つの試行T₁，T₂について，それぞれの結果の起こり方が互いに影響を与えないとき，試行T₁，T₂は 独立 であるという。

独立な試行の確率：

2つの試行T₁，T₂が 独立 であるとき，T₁で事象Aが起こり，T₂で事象Bが起こる確率は P(A)×P(B)

３つの試行の独立：

3つの試行T₁，T₂，T₃において，どの試行の結果も他の試行の結果に影響を与えないとき，これらの試行は 独立 であるという。

独立な３つの試行の確率：

このとき，T₁で事象Aが起こり，T₂で事象Bが起こり，T₃で事象Cが起こる確率は，次のようになる。 P(A)×P(B)×P(C)

反復試行：

同じ条件のもとで同じ試行を繰り返し行うとする。それらの試行が独立であるとき，これらの試行をまとめて 反復試行 という。

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ａ 317 ISBN978-4-487-16529-2

東書 数Ａ「乗法定理」とは

乗法定理：

P(A∩B)=P(A)×P_A(B)

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ａ 317 ISBN978-4-487-16529-2

数学Ｂ事象の独立

東書 数Ｂ「事象の独立」とは

事象の独立：

2つの事象A，Bがあって P_A(B)=P(B)，P_B(A)=P(A) の2つの式がともに成り立つとき，AとBは 独立 であるという。

事象の独立：

2つの事象AとBについて AとBが独立である ⇔ P(A∩B)=P(A)·P(B)

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ｂ 316 ISBN978-4-487-16537-7

東書 数Ｂ「確率変数の独立」とは

試行の独立と確率変数の独立：

前ページの硬貨を投げる試行とさいころを投げる試行は独立であるから，確率変数X，Yのとる値のすべてのi，jの組に対して P(X=i,Y=j)=P(X=i)·P(Y=j) が成り立つ。

確率変数の独立：

2つの確率変数X，Yについて，Xのとる任意の値x_iとYのとる任意の値y_jについて P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)·P(Y=y_j) が成り立つとき，確率変数X，Ｙは 独立 であるという。

確率変数の積の平均：

確率変数X，Yが独立であるとき E(XY)=E(X)·E(Y)

確率変数の和の分散：

確率変数X，Yが独立であるとき V(X+Y)=V(X)+V(Y)

３つの確率変数の独立：

3つの確率変数X，Y，Zについて，Xのとる任意の値x_iとYのとる任意の値y_jとZのとる任意の値z_kに対して P(X=x_i,Y=y_j,Z=z_k)=P(X=x_i)·P(Y=y_j)·P(Z=z_k) が成り立つとき，確率変数X，Ｙ，Zは独立であるという。

３つの確率変数の和の分散：

独立な確率変数X，Y，Zに対して，次のことが成り立つ。 E(XYZ)=E(X)·E(Y)·E(Z) V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)

試行の独立と確率変数の独立：

3つの独立な試行T₁，T₂，T₃があるとき，T₁，T₂，T₃に関する確率変数をX，Y，Zとすると，確率変数X，Y，Zは独立である。

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ｂ 316 ISBN978-4-487-16537-7

数学Ｂ確率変数

東京書籍 数学Ｂ Advanced

東書 数Ｂ「確率変数」とは

確率変数：

試行の結果によってその値が定まる変数を 確率変数 という。

確率密度関数：

実数のある区間全体に値をとる確率変数Xに対して，1つの関数y=f(x)が対応して次の性質をもつとする。
[1] f(x)≥0を満たす。
[2] Xがa≤X≤bの範囲の値をとる確率P(a≤X≤b)は，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a，x=bで囲まれた部分の面積∫_a^b f(x)dxに等しい。すなわち P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx
[3] 曲線y=f(x)とx軸の間の面積は1である。
このとき，Xを 連続型確率変数 といい，関数f(x)をXの 確率密度関数，y=f(x)のグラフをその 分布曲線 という。

離散型確率変数：

連続型確率変数に対して，とびとびの値をとる確率変数を 離散型確率変数 という。

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ｂ 316 ISBN978-4-487-16537-7

数学Ｂ母集団分布

東書 数学Ｂ Advanced

母集団と標本：

標本調査の場合，対象とする集団全体を 母集団 という。 母集団から選び出された一部を 標本 といい， 標本を選び出すことを 抽出 という。

大きさ：

母集団に属する個々のものを 個体 といい， 個体の総数を 母集団の大きさ という。 標本に含まれる個体の個数を 標本の大きさ という。

変量：

ある高校の生徒を母集団とするとき，身体測定における身長のように，母集団において調査の対象となっている性質をその母集団の特性という。 とくに数量的に表される特性は確率変数として取り扱うことができるから，変量 という。

母集団分布：

いま，この母集団から1個の個体を無作為に抽出する。 母集団の各個体が抽出される確率は同じであるから，Xがx_iという値をとる確率P(X=x_i)=p_iは p_i=f_i/N (i=1,2,…,k) であり，Xの確率分布は右の表で示される。 この確率分布は，母集団において調査の対象となっている変量を特徴づけるものであるから 母集団分布 とよばれ， 母集団の分布の平均，分散，標準偏差を，それぞれ 母平均，母分散，母標準偏差 といい，m，σ²，σで表す。

標本平均：

母集団から無作為抽出する大きさ\(n\)の標本の変量を\(X_1\)，\(X_2\)，…，\(X_n\)とする。これらの平均 \[ \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n} \] を 標本平均 という。

母比率：

母集団の中で，ある性質Aをもつ個体の割合をpとする。このpを，性質Aをもつ個体の母集団における 母比率 という。

東書 数学Ｂ Advanced

不適切な記述（特性・変量）

数量的に表される特性は確率変数として取り扱うことができるから，変量 という。

ここでは確率変数は関係がない。意味不明である。

数学Ｂ大数の法則

東京書籍 数学Ｂ Advanced

教科書の内容は以下のとおり。

ラプラスの定理：

文部科学省検定済教科書 2 東書 数Ｂ 316 ISBN978-4-487-16537-7