四分位数
四分位数：
[１] データを値の大きさの順に並べ，中央値を求める。
[２] [１]の中央値を境界としてデータの個数を2等分し，値が中央値以下の下組と，値が中央値以上の上組に分ける。ただし，データの大きさが奇数のとき，[１]の中央値は，下組にも上組にも含めないものとする。
[３] 下組の中央値，上組の中央値を求める。
[１]で求めた中央値がQ2，[３]で求めた下組の中央値がQ1，上組の中央値がQ3である。第2四分位数Q2は，データの中央値に他ならない。
注意：
四分位数の定義はいくつかある。以下，本書では上の定義を用いる。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数１ 328 ISBN978-4-410-80203-4
[１]の中央値を境界としてデータの個数を2等分し，値が中央値以下の下組と，値が中央値以上の上組に分ける。ただし，データの大きさが奇数のとき，[１]の中央値は，下組にも上組にも含めないものとする。
データの中に中央値に等しい値が複数含まれる場合に，下組や上組の大きさが意図したものにならない。 上記センター試験の問題に正しく解答することができない。
変量
変量：
人の身長，体重や運動の記録などのように，ある特性を表す数量を 変量 という。 数学では，ある変量の測定値や観測値の集まりを データ という。
代表値：
データ全体の特徴を適当な1つの数値で表せると便利である。そのような値をデータの 代表値 という。 ここでは，データの代表値として，平均値，最頻値，中央値について調べよう。
大きさ：
データにおける測定値や観測値の個数を，そのデータの 大きさ という。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数１ 328 ISBN978-4-410-80203-4
整数の除法
整数の割り算：
整数aと正の整数bについて a=bq+r， 0≤r<b となる整数q，rは1通りに定まる。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ａ 328 ISBN978-4-410-80207-2
試行の独立
確率変数X，Y，Zが互いに独立であるとき E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z) V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)
分散は2次の積率なので，2項の V(X+Y)=V(X)+V(Y) や3項の V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z) は，常に2次の E(XY)=E(X)E(Y) から導かれる。 項数（X+Y+Zの3項）と次数（XYZの3次）を関連付けてはいけない。
教科書の内容は以下のとおり。
試行の独立：
いくつかの試行において，どの試行の結果も他の試行の結果に影響を与えないとき，これらの試行は 独立 であるという。
独立な試行の確率：
2つの試行SとTが独立であるとき，Sで事象Aが起こり，かつTで事象Bが起こる確率pは，P(A)とP(B)の積に等しい。すなわち p=P(A)×P(B)
独立な３つの試行の確率：
独立な3つ以上の試行についても，上と同様なことが成り立つ。
反復試行：
同じ条件のもとでの試行の繰り返しを 反復試行 という。1つの試行を何回か繰り返すとき，これらの試行は独立である。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ａ 328 ISBN978-4-410-80207-2
乗法定理：
2つの事象A，Bがともに起こる確率P(A∩B)は P(A∩B)=P(A)PA(B)
３つの事象の乗法定理：
3つ以上の事象の場合についても，前ページで述べた乗法定理と同様なことが成り立つ。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ａ 328 ISBN978-4-410-80207-2
事象の独立
確率変数の独立：
2つの確率変数X，Yを考える。Xのとる値aとYのとる値bに対して， P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b) が，a，bのとり方に関係なく常に成り立つとき，確率変数X，Yは互いに 独立 であるという。
試行の独立と確率変数の独立：
とくに，2つの試行SとTが独立のとき，Sの結果によって定まる確率変数XとTの結果によって定まる確率変数Yは独立である。
確率変数の積の期待値：
2つの確率変数X，Yが互いに独立であるとき E(XY)=E(X)E(Y)
確率変数の和の分散：
2つの確率変数X，Yが互いに独立であるとき V(X+Y)=V(X)+V(Y)
３つの確率変数の独立：
3つの確率変数X，Y，Zについて，Xのとる値a，Yのとる値b，Zのとる値cに対して， P(X=a,Y=b,Z=c)=P(X=a)P(Y=b)P(Z=c) が，a，b，cのとり方に関係なく常に成り立つとき，確率変数X，Y，Zは互いに 独立 であるという。
３つの確率変数の和の分散：
確率変数X，Y，Zが互いに独立であるとき E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z) V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ｂ 326 ISBN978-4-410-80217-1
曖昧な箇所があり，
よって，これらの一方が成り立つとき，他方も成り立つ。このとき，事象AとBは互いに独立であるという。と書かれている。 しかし，
一方と
他方の指しているもの，
このときの指しているものが不明であるため，推測をもとに以下のように解釈しておく。
BはAに独立：
1つの試行における2つの事象A，Bについて PA(B)=P(B) が成り立つとき，事象Bは事象Aに 独立 であるという。 （一部編集済み）
互いに独立：
1つの試行における２つの事象A，Bについて PA(B)=P(B)，PB(A)=P(A) がともに成り立つとき，事象AとBは互いに 独立 であるという。 （推測をもとに一部編集済み）
事象の独立：
2つの事象A，Bが互いに独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ｂ 326 ISBN978-4-410-80217-1
確率変数
試行の結果によってその値が定まり，各値に対応して確率が定まるような変数を確率変数という。
この定義は連続型確率変数の場合を含んでいる。各値に対応して確率が定まるような
の部分は，連続型確率変数の定義になじまない。
教科書の内容は以下のとおり。
確率変数：
試行の結果によってその値が定まり，各値に対応して確率が定まるような変数を 確率変数 という。
連続型確率変数：
連続した値をとる確率変数Xを 連続型確率変数 という。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ｂ 326 ISBN978-4-410-80217-1
母集団分布
母集団：
調査の対象全体を 母集団 という。 母集団に属する個々の対象を 個体 といい， 個体の総数を 母集団の大きさ という。
標本：
調査のため母集団から抜き出された個体の集合を 標本 といい， 母集団から標本を抜き出すことを 抽出 という。 標本に属する個体の総数を 標本の大きさ という。
変量：
統計的な調査の対象には，身長，時間，不良品の個数などのように，特定の性質がある。これを特性といい，ある特性を表す数量を 変量 という。
母集団分布：
母集団から1個の個体を無作為に抽出して，変量xの値をXとするとき，Xは確率変数である。（中略） このXの確率分布を 母集団分布 という。 また，確率変数Xの期待値，標準偏差を，それぞれ 母平均，母標準偏差 といい，m，σで表す。
母集団分布と変量の分布：
この母平均m，母標準偏差σは，母集団における変量xの平均値，標準偏差に，それぞれ一致する。*
*変量xの平均値，標準偏差については，数学Ⅰの「データの分析」で学んだ。
標本平均：
母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出し，それらの変量xの値を\(X_1\)，\(X_2\)，…，\(X_n\)とするとき， \[ \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n} \] を 標本平均 という。 \(n\)を固定すると，標本平均\(\bar{X}\)は1つの確率変数になる。
母比率と標本比率：
母集団の中である特性Aをもつものの割合を，その特性Aの 母比率 という。 また，抽出された標本の中で特性Aをもつものの割合を 標本比率 という。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ｂ 326 ISBN978-4-410-80217-1
数研教科書の考える「データの構造」が複雑すぎる。そして「データの構造」を伝えきれていない。 母集団や標本は個体の集まりであり，個体は（1つの）特性をもち，特性は変量で表される。
教科書には書かれていないが，1つの個体は1つの特性をもつことが想定されているものとみられる。 「個体の値」，「特性の値」，「変量の値」にほとんど違いはなく，「変量」と「データ」にもほとんど違いはない。うまく使い分けるのは難しい。
母集団分布の定義において，変量x
の部分が理解を妨げている：
母集団から1個の個体を無作為に抽出して，変量xの値をXとするとき，Xは確率変数である。（中略） このXの確率分布を母集団分布という。
変量xの値をX
と定めると，変量xの値は x1，x2，…，xN のいずれか，確率変数Xの値も x1，x2，…，xN のいずれかになるから，変量xと確率変数Xの違いが分からなくなる。
標本平均の定義において，変量x
の部分に誤りがある：
母集団から大きさnの無作為標本を抽出し，それらの変量xの値を X1，X2，…，Xn とする
上のそれらの変量x
はn次元データでなければならない。
「母集団から大きさnの無作為標本を抽出し，それらの変量 xi1，xi2，…，xin の値をそれぞれ X1，X2，…，Xn とする」が正しい。
教科書の内容は以下のとおり。
大数の法則
導入は確率収束で表現される「大数の弱法則」，結論は概収束で表現される「大数の強法則」であり，導入と結論が異なる。
教科書の内容は以下のとおり。
導入：
標本の大きさ\(n\)を限りなく大きくしていくと，標本平均\(\bar{X}\)の分布を近似する正規分布の標準偏差\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)は，限りなく\(0\)に近づき，\(\bar{X}\)の分布は母平均\(m\)の近くに限りなく集中する。 すなわち，\(\bar{X}\)が\(m\)に近い値をとる確率が\(1\)に近づく。
結論：
母平均\(m\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本を抽出するとき，\(n\)が大きくなるに従って，その標本平均\(\bar{X}\)はほとんど確実に母平均\(m\)に近づく。
文部科学省検定済教科書 104 数研 数Ｂ 326 ISBN978-4-410-80217-1
2020.1.25 作成 / 2021.1.6 更新
検定済教科書 | 四分位数 | 整数の除法 | 試行の独立 | 事象の独立 | 確率変数 | 母集団分布 | 大数の法則
Home › 検定済教科書 › 数研出版