1. 銀行丸め（小数部で場合分け）

1. 小数部で場合分け
2. 反復丸め
3. 規則Aから規則Bへ

丸めのための関数

実数 x に対して，切り捨て，切り上げ，四捨五入，五捨五超入をする関数を F(x)，C(x)，R(x)，Ř(x) とする。 \begin{align*} &F(x)=\begin{cases} \lfloor x\rfloor &x\ge 0\\\lceil x\rceil &x\le 0 \end{cases} &&C(x)=\begin{cases} \lceil x\rceil &x\ge 0\\\lfloor x\rfloor &x\le 0 \end{cases} \\ &R(x)=\begin{cases} \lfloor x+0.5\rfloor &x>-0.5\\\lceil x-0.5\rceil &x<0.5 \end{cases} &&\check{R}(x)=\begin{cases} \lceil x-0.5\rceil &x>-0.5\\\lfloor x+0.5\rfloor &x<0.5 \end{cases} \end{align*} 丸めの幅を d>0 として，切り捨て，切り上げ，四捨五入，五捨五超入をする関数を F^d(x)，C^d(x)，R^d(x)，Ř^d(x) とする。 \begin{align*} &F^d(x)=F(x\div d)\times d,\qquad &&C^d(x)=C(x\div d)\times d \\ &R^d(x)=R(x\div d)\times d,\qquad &&\check{R}{}^d(x)=\check{R}(x\div d)\times d \end{align*}

小数部で場合分けする方法

実数 x に対して，整数部を Int(x)=⌊x⌋，小数部を Frac(x)=x−⌊x⌋ とする。 銀行丸めをすると，x の小数部が0.5なら丸めの幅を2として四捨五入（または五捨五超入）され， 小数部が0.5でないなら丸めの幅を1として四捨五入（または五捨五超入）される。 \[ \lfloor x\rceil =\begin{cases} R^2(x) &\operatorname{Frac}(x)=0.5 \\ R^1(x) &\operatorname{Frac}(x)\ne 0.5 \end{cases} \] 負数を含む任意の数値に対して，1000ごとに銀行丸めをする場合は，基準値=1000 または 桁数=−3 とする。

=IF(MOD(数値/1000,1)=0.5,ROUND(数値/2,−3)∗2,ROUND(数値,−3))

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2. 銀行丸め（反復丸め）

1. 小数部で場合分け
2. 反復丸め
3. 規則Aから規則Bへ

四捨五入の表現

丸めの幅を0.5として切り捨て，その結果を丸めの幅を1として切り上げると，四捨五入になる。 区間 [0.0, 0.5) は 0.0≤x<0.5 を満たす実数 x の集まりである。

xの範囲	切り捨て（0.5）	切り上げ（1）
[−0.5, 0.0)	→ −0.5	→ 0
[0.0, 0.5)	→ 0.0	→ 0
[0.5, 1.0)	→ 0.5	→ 1
[1.0, 1.5)	→ 1.0	→ 1

四捨五入は，切り捨てと切り上げの繰り返しで表現できる。 \[ R^1(x)=C^1(F^{0.5}(x)),\qquad R^2(x)=C^2(F^1(x)) \]

五捨五超入の表現

丸めの幅を0.5として切り上げ，その結果を丸めの幅を1として切り捨てると，五捨五超入になる。

xの範囲	切り上げ（0.5）	切り捨て（1）
(−0.5, 0.0]	→ 0.0	→ 0
(0.0, 0.5]	→ 0.5	→ 0
(0.5, 1.0]	→ 1.0	→ 1
(1.0, 1.5]	→ 1.5	→ 1

五捨五超入は，切り上げと切り捨ての繰り返しで表現できる。 \[ \check{R}{}^1(x)=F^1(C^{0.5}(x)),\qquad \check{R}{}^2(x)=F^2(C^1(x)) \]

銀行丸めの表現

丸めの幅を1として四捨五入した結果を丸めの幅を2として切り捨てたもの， 丸めの幅を1として五捨五超入した結果を丸めの幅を2として切り上げたものの平均値は銀行丸めになる。

xの範囲	→ R1 → F2		→ Ř1 → C2		⌊x⌉
(−0.5, 0.5)	→ 0 → 0	+	→ 0 → 0	÷2=	→ 0
0.5	→ 1 → 0	+	→ 0 → 0	÷2=	→ 0
(0.5, 1.5)	→ 1 → 0	+	→ 1 → 2	÷2=	→ 1
1.5	→ 2 → 2	+	→ 1 → 2	÷2=	→ 2
(1.5, 2.5)	→ 2 → 2	+	→ 2 → 2	÷2=	→ 2

銀行丸めは，次のように求められる。 \[ \lfloor x\rceil =\frac{F^2(R^1(x))+C^2(\check{R}{}^1(x))}{2} \]

床関数と天井関数で表す方法

これを床関数と天井関数で表し，2回の反復丸めを1回にまとめる。 \begin{align*} \lfloor x\rceil &=\frac{F^2(R^1(x))+C^2(\check{R}{}^1(x))}{2} \\ &=\frac{\lfloor \lfloor x+0.5\rfloor \div 2\rfloor \times 2 +\lceil \lceil x-0.5\rceil \div 2\rceil \times 2}{2} \\ &=\lfloor (x+0.5)\div 2\rfloor +\lceil (x-0.5)\div 2\rceil \end{align*} 負数を含む任意の数値に対して，次のEXCEL数式で銀行丸めをすることができる。 1000ごとに銀行丸めをするときは，基準値=1000 または 桁数=−3 とする。

=ROUNDDOWN(数値/2+250,−3)+ROUNDUP(数値/2−250,−3)

３回の反復丸めで表す方法

上の方法において，R¹(x)=C¹(F^0.5(x))，Ř¹(x)=F¹(C^0.5(x)) を置き換える。 \[ \lfloor x\rceil =\frac{F^2(C^1(F^{0.5}(x)))+C^2(F^1(C^{0.5}(x)))}{2} \] 負数を含む任意の数値に対して，次のEXCEL数式で銀行丸めをすることができる。 1000ごとに銀行丸めをするときは，基準値=1000 または 桁数=−3 とする。

=ROUNDDOWN(ROUNDUP(ROUNDDOWN(数値∗2,−3)/2,−3)/2,−3)

+ROUNDUP(ROUNDDOWN(ROUNDUP(数値∗2,−3)/2,−3)/2,−3)

２回の反復丸めで表す方法

上の方法において，C¹(F^0.5(x))=R¹(x)，C²(F¹(x))=R²(x) を置き換える。 \[ \lfloor x\rceil =\frac{F^2(R^1(x))+R^2(C^{0.5}(x))}{2} \] 負数を含む任意の数値に対して，次のEXCEL数式で銀行丸めをすることができる。 1000ごとに銀行丸めをするときは，基準値=1000 または 桁数=−3 とする。

=ROUNDDOWN(ROUND(数値,−3)/2,−3)

+ROUND(ROUNDUP(数値∗2,−3)/4,−3)

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3. 規則Aから規則Bへ

1. 小数部で場合分け
2. 反復丸め
3. 規則Aから規則Bへ

床関数の構成

数値の丸め方は，日本産業規格 JIS Z 8401：2019 に規定されていて，規則Aは銀行丸め，規則Bは四捨五入に相当する。 最近接丸めをする関数が「規則A」しか提供されていない場合に，「規則B」を構成するのは面倒である。 \[ x\xrightarrow{規則A}\lfloor x\rceil ,\qquad x\xrightarrow{規則B}\begin{cases} \lfloor x+0.5\rfloor &x\ge 0\\\lceil x-0.5\rceil &x<0 \end{cases} \]

次表にしたがって規則A（銀行丸め）と四則演算をすすめると床関数 ⌊x⌋ を構成することができる。 直前の計算結果を • と表している。

x	2x−0.5	⌊•⌉	(•−0.5)/2	⌊•⌉
[0.0, 0.5]	→ [−0.5, 0.5]	→ 0	→ −0.25	→ 0
(0.5, 1.0)	→ (0.5, 1.5)	→ 1	→ 0.25	→ 0
[1.0, 1.5]	→ [1.5, 2.5]	→ 2	→ 0.75	→ 1
(1.5, 2.0)	→ (2.5, 3.5)	→ 3	→ 1.25	→ 1

床関数 ⌊x⌋ は次のように規則A（銀行丸め） ⌊x⌉ で表すことができる。 \[ \lfloor x\rfloor =\lfloor (\lfloor x\times 2-0.5\rceil -0.5)\div 2\rceil \]

天井関数の構成

関数 f(x) に対して −f(−x) という変換をすると， 床関数 ⌊x⌋ は天井関数に，天井関数 ⌈x⌉ は床関数に変換される。 規則Aの丸め（銀行丸め） ⌊x⌉ は奇関数のため変化しない。 \[ \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil ,\qquad \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor, \qquad \lfloor x\rceil =-\lfloor -x\rceil \] 天井関数 ⌈x⌉ は次のように規則A（銀行丸め） ⌊x⌉ で表すことができる。 \begin{align*} \lceil x\rceil &=-\lfloor -x\rfloor =-\lfloor (\lfloor -x\times 2-0.5\rceil -0.5)\div 2\rceil \\ &=-\lfloor (-\lfloor x\times 2+0.5\rceil -0.5)\div 2\rceil \\ &=\lfloor (\lfloor x\times 2+0.5\rceil +0.5)\div 2\rceil \end{align*}

規則B（四捨五入）の構成

非負の実数 x に対する四捨五入は ⌊x+0.5⌋，五捨五超入は ⌈x−0.5⌉ である。 \begin{gather*} \lfloor x+0.5\rfloor =\lfloor (\lfloor x\times 2+0.5\rceil -0.5)\div 2\rceil \\ \lceil x-0.5\rceil =\lfloor (\lfloor x\times 2-0.5\rceil +0.5)\div 2\rceil \end{gather*} よって規則B（四捨五入） R(x) を，規則A（銀行丸め） ⌊x⌉ で表すことができる。 \[ R(x)=\begin{cases} \lfloor x+0.5\rfloor =\lfloor (\lfloor x\times 2+0.5\rceil -0.5)\div 2\rceil &x\ge 0\\ \lceil x-0.5\rceil =\lfloor (\lfloor x\times 2-0.5\rceil +0.5)\div 2\rceil &x<0 \end{cases} \]

規則A（銀行丸め）による他の丸めの表現

実数 x に対して，丸めの幅を 1 として規則A（銀行丸め）で丸める関数を Round(x) とする。 \[ \lfloor x\rceil =\text{Round}(x) \] 丸めの幅が 1 のとき，床関数 ⌊X⌋，天井関数 ⌈X⌉，規則B（四捨五入） R(X) は次のように表せる。

床関数	=Round((Round(X∗2−0.5)−0.5)/2)
天井関数	=Round((Round(X∗2+0.5)+0.5)/2)
規則B（X≥0のとき）	=Round((Round(X∗2+0.5)−0.5)/2)
規則B（X<0のとき）	=Round((Round(X∗2−0.5)+0.5)/2)

丸めの幅が D>0 のときは次のように丸められる。

床関数	=Round((Round(X/D∗2−0.5)−0.5)/2)∗D
天井関数	=Round((Round(X/D∗2+0.5)+0.5)/2)∗D
規則B（X≥0のとき）	=Round((Round(X/D∗2+0.5)−0.5)/2)∗D
規則B（X<0のとき）	=Round((Round(X/D∗2−0.5)+0.5)/2)∗D

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