1. 「四捨五入」か「五捨六入」か

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

正のバイアス・負のバイアス

四捨五入： 小数第1位までの数を整数に丸める場合，小数第1位が 0 の数は丸められないので考えなくてよい。 「四捨五入」をすると，小数第1位が 1，2，3，4 ならば切り捨て，小数第1位が 5，6，7，8，9 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 4:5 で切り上げが多く，全体として大きめに見積もられることになる。 このことを，四捨五入は正のバイアスをもつという。

五捨六入： 四捨五入ではなく，五捨六入にすればどうだろうか。 「五捨六入」をすると，小数第1位が 1，2，3，4，5 ならば切り捨て，小数第1位が 6，7，8，9 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 5:4 で切り捨てが多く，全体として小さめに見積もられることになる。 このことを，五捨六入は負のバイアスをもつという。

四捨五入も五捨六入もどちらもバイアスをもつのに，実際には四捨五入ばかり用いられているのはなぜなのかという疑問がよく見られる。 しかし，四捨五入と五捨六入を対等に比較してもよいのだろうか。

※バイアス（bias）とは，偏りのことである。

四捨五入のバイアスは大きくない

小数第2位までの数を整数に丸める場合，小数部分が .00 の数は丸められないので考えなくてよい。 小数部分が .01 ～ .49 ならば切り捨て，小数部分が .50 ～ .99 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 49:50 で切り上げが多くなる。

同様に，小数第3位までの数を整数に四捨五入する場合は，切り捨てと切り上げの割合は 499:500 でわずかに切り上げが多くなる。 「四捨五入」の正のバイアスは大きくない。

四捨五入の方法

整数に四捨五入するとき，小数部分が .000 ～ .499… ならば切り捨て，小数部分が .500 ～ .999… ならば切り上げられる。 小数第1位が 0，1，2，3，4 ならば切り捨て，5，6，7，8，9 ならば切り上げるのと同等である。

四捨五入の場合は，小数第1位だけに注目すればよく，規則が単純である。

四捨五入か五捨六入か

先の疑問「四捨五入も五捨六入もどちらもバイアスをもつのに，実際には四捨五入ばかり用いられているのはなぜなのか」に答えるのは簡単ではない。 「五捨六入」が「五捨五超入」を表す場合と，そうでない場合があり，それによって回答が異なってくる。

五捨五超入： 「五捨六入」が「五捨五超入」を表す場合は，「四捨五入」と「五捨五超入」を対等に比較してもかまわない。 ただし，「四捨五入」のほうが規則が単純で計算間違いが起こりにくいという利点がある。

五捨六入： 反対に「五捨六入」が「五捨五超入」を表さない場合は，その「五捨六入」は正しくない方法なのでするべきではない。

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2. 「五捨五超入」か「五捨六入」か

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

最近接丸め

実数 x を，x に最も近い整数に丸めることを「最近接丸め」という。最近接丸めにはいくつかの方法がある。 「四捨五入」は最近接丸めのひとつで，床関数を用いて ⌊x+0.5⌋ で求めることができる。 「五捨五超入」も最近接丸めのひとつで，天井関数を用いて ⌈x−0.5⌉ で求めることができる。 \[ x\xrightarrow{四捨五入}\lfloor x+0.5\rfloor,\qquad x\xrightarrow{五捨五超入}\lceil x-0.5\rceil \] 五捨六入は五捨五超入を表す場合と，そうでない場合がある。 五捨六入が「五捨五超入」を表す場合は，天井関数を用いて ⌈x−0.5⌉ で求めることができる。 五捨六入が五捨五超入を表さない場合は，床関数を用いて ⌊x+0.4⌋ で求めることができる。 後者の「五捨六入」は最近接丸めではない。 \[ x\xrightarrow{五捨六入}\lfloor x+0.4\rfloor \] まぎらわしいので表現を整理しておく。 五捨六入が五捨五超入を表す場合は「五捨五超入」と表現し， 五捨六入が五捨五超入を表さない場合は「五捨五超入でない五捨六入」あるいは簡単に「五捨六入」と表現することにする。

五捨五超入のバイアスは大きくない

五捨五超入・五捨六入： 小数第1位までの数を整数に丸める場合，「五捨五超入」と「五捨六入」の結果は同じになる。 小数第1位が 1，2，3，4，5 ならば切り捨て，小数第1位が 6，7，8，9 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 5:4 で切り捨てが多く，全体として小さめに見積もられることになる。 五捨五超入または五捨六入は負のバイアスをもつ。

五捨五超入： 小数第2位までの数を整数に五捨五超入すると，小数部分が .01 ～ .50 ならば切り捨て，小数部分が .51 ～ .99 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 50:49 で切り捨てが多くなる。

同様に，小数第3位までの数を整数に五捨五超入する場合は，切り捨てと切り上げの割合は 500:499 でわずかに切り捨てが多くなる。 「五捨五超入」の負のバイアスは大きくない。

五捨六入のバイアスは大きい

五捨六入： 小数第2位までの数を整数に五捨六入すると，小数部分が .01 ～ .59 ならば切り捨て，小数部分が .60 ～ .99 ならば切り上げられる。 切り捨てと切り上げの割合は 59:40 で切り捨てが多くなる。 桁数を増やしても負のバイアスは解消されない。

同様に，小数第3位までの数を整数に五捨六入する場合は，切り捨てと切り上げの割合は 599:400 で切り捨てが多くなる。 「五捨六入」の負のバイアスは大きい。

五捨六入してはいけない

わずかでも大きく見積もってはならないとき「切り捨て」を選択し， わずかでも小さく見積もってはならないとき「切り上げ」を選択する。 誤差が小さくなるように見積もるときは最近接丸め（「四捨五入」「五捨五超入」「銀行丸め」）を選択する。

「五捨六入」は最近接丸めではなく，よほど特殊な事情がない限り「五捨六入」を選択する理由はない。 特殊な事情があるとしても，それは丸め処理を利用して 密かに 小さく見積もろうとするもので，正当な方法とはいえない。

一部のメディアや一部のエンジニアたちが正しくない「五捨六入」を拡散し続けている。 「五捨六入」が誤った処理であることに早く気付いてもらわなくてはならない。 本業の彼らが間違えたら誰が修正したらいいのか。

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3. 二捨三入・七捨八入

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

「四捨五入」から「二捨三入・七捨八入」へ

丸めの幅が 1 のとき「四捨五入」は床関数を用いて ⌊x+0.5⌋ で求めることができる。 丸めの幅を 0.5 に変更したものを「二捨三入・七捨八入」といい，床関数を用いて ⌊x×2+0.5⌋÷2 で求めることができる。 \[ x\xrightarrow{四捨五入（1）}\lfloor x+0.5\rfloor,\qquad x\xrightarrow{二捨三入（0.5）}\lfloor x\times 2+0.5\rfloor \div 2 \] 丸めの幅が 5 のときの「二捨三入・七捨八入」は床関数を用いて ⌊x÷5+0.5⌋×5 で求めることができる。 \[ x\xrightarrow{四捨五入（1）}\lfloor x+0.5\rfloor,\qquad x\xrightarrow{二捨三入（5）}\lfloor x\div 5+0.5\rfloor \times 5 \] 「二捨三入・七捨八入」は簡単に「二捨三入」ということもある。

小数第1位までの数を二捨三入する

小数第1位までの数を 0.5 の整数倍に丸める場合，小数第1位が 0，5 の数は丸められないので考えなくてよい。 「二捨三入・七捨八入」をすると，小数第1位が 1，2 ならば切り捨て，3，4 ならば切り上げ，6，7 ならば切り捨て，8，9 ならば切り上げて 0.5 の整数倍に丸められる。

小数第1位が 2 ならば切り捨て，3 ならば切り上げられ，小数第1位が 7 ならば切り捨て，8 ならば切り上げられる。 ただしこの規則を一般化してはならない。

小数第2位までの数を二捨三入する

「二捨三入・七捨八入」は最近接丸めのひとつである。 小数第2位までの数を 0.5 の整数倍に丸める場合，小数部分が .01 ～ .24 ならば切り捨て，.25 ～ .49 ならば切り上げ，.51 ～ .74 ならば切り捨て，.75 ～ .99 ならば切り上げられる。 そのため「二捨三入・七捨八入」は「24捨25入・74捨75入」とよばれることもある。

小数第1位が 2 であっても，小数部分が .20 ～ .24 ならば切り捨て，.25 ～ .29 ならば切り上げられる。 同様に，小数第1位が 7 であっても，小数部分が .70 ～ .74 ならば切り捨て，.75 ～ .79 ならば切り上げられる。

丸めの幅が 0.5 のとき，小数第1位と第2位によって切り捨てるか切り上げるかを判断する。 丸めの幅が 5 のときは，一の位と小数第1位によって判断する。 「四捨五入」は下位の1桁だけ注目すればよいが，「二捨三入・七捨八入」は下位の2桁に注目しなければならない。

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4. 切り上げ

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

小数第1位までの数を切り上げる

小数第1位までの数を整数に丸める場合，小数第1位が 0 の数は丸められないので考えなくてよい。 「切り上げ」をすると，小数第1位が 0 でなければ常に切り上げられる。

小数第1位が 0 ならば丸めず，小数第1位が 0 でなければ切り上げられる。 ただしこの規則を一般化してはならない。

小数第2位までの数を切り上げる

小数第2位までの数を整数に「切り上げ」をする場合，小数部分が .00 ならば丸めず，小数部分が .01 ～ .99 ならば切り上げられる。

小数第1位に注目して「切り上げ」をすると「〇捨一入」になってしまう。 「四捨五入」は下位の1桁だけ注目すればよいが，「切り上げ」は下位のすべての桁に注目しなければならない。

「小数第1位で切り上げ」の誤り

小学校のがい数（およその数）の問題：

問題 12345 を切り上げで，千の位までのがい数にしましょう。
解説 1000 にたりない 345 を 1000 とみて 13000 にします。

四捨五入の問題なら「百の位を四捨五入して」を付け加えても意味は変わらないが， 切り上げの問題で「百の位を切り上げて」を付け加えると「〇捨一入」になってしまう。

問題（〇捨一入） 12045 を 百の位 を切り上げて，千の位までのがい数にしましょう。
問題（切り上げ） 12045 を 百の位から下の位 を切り上げて，千の位までのがい数にしましょう。

「百の位」を切り上げると「〇捨一入」になってしまい 12000 になる。 「百の位から下の位」を切り上げると「切り上げ」で 13000 になる。

「～の位で切り上げましょう」は意図しないもの（〇捨一入）になり，計算間違いを起こしてしまう。 残念ながら，小学生向けの教材にも「～の位で切り上げましょう」という表現が使われていることがある。 検定済教科書にはこのような表現はないはずである。

整数に切り上げるとき，小数第1位以降の桁がすべて0なら丸めない。小数第1位以降の桁に0でない数がひとつでもあれば切り上げる。

小数第1位にしか注目しないことの誤り

「小数部分が 0.5」と「小数第1位が 5」は同じではない。 「小数部分が 0.5」は 0.5 だけだが，「小数第1位が 5」なら小数部分は 0.500 ～ 0.599… の幅がある。 小数部分が 0.5 の数を切り捨てると「五捨五超入」になり， 小数第1位が 5 の数（小数部分が 0.500 ～ 0.599… の数）を切り捨てると「五捨六入」になる。

小学生のときにできた計算が，大人になってできなくなってしまう人がいる。 よく使われる「四捨五入」の規則は覚えているが，「切り上げ」の規則は忘れてしまったのかもしれない。 大人になって「切り上げ」を間違えるようになった人は，なんでも小数第1位で場合分けしようとしている。

なんでも小数第1位で場合分けしてしまう人は，「五捨五超入」が「五捨六入」になり，「切り上げ」が「〇捨一入」になってしまう。 「二捨三入・七捨八入（24捨25入・74捨75入）」も「29捨30入・79捨80入」になって計算が狂う。いずれも負のバイアスが生じる。

五捨五超入と五捨六入：

切り上げと〇捨一入：

二捨三入・七捨八入（「24捨25入・74捨75入」と「29捨30入・79捨80入」）：

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5. 七捨八入（許容電流）

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

許容電流

通常，切り捨て，切り上げ，最近接丸め（四捨五入，五捨五超入，銀行丸め等）以外の丸め方は必要ないが， 限定された状況で歪んだ丸め方が取り決められている場合がある。

電線に安全に流せる電流のことを許容電流という。 許容電流は電線の許容電流に同一管内の電線数に応じて定める電流減少係数を掛けたものを七捨八入して求める。

電線の許容電流：

電流減少係数：

七捨八入

問題 金属管による低圧屋内配線工事で，管内に直径 2.0mm の 600V ビニル絶縁電線（軟銅線）4本を収めて施設した場合，電線1本当たりの許容電流 [A] は。 ただし，周囲温度は 30℃ 以下，電流減少係数は 0.63 とする。
解答 35 × 0.63 = 22.05 を七捨八入して 22 A。

許容電流を求めるための「七捨八入」は，最近接丸めの「二捨三入・七捨八入」とは異なる。 七捨八入をすると，小数第1位が8未満なら切り捨て，8以上なら切り上げられる。

計算例：表側は単線またはより線の許容電流，表頭は電流減少係数で，それらの積から許容電流を求めた。

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6. 八捨九入（カラット）

1. 四捨五入か五捨六入か
2. 五捨五超入か五捨六入か
3. 二捨三入・七捨八入
4. 切り上げ
5. 七捨八入（許容電流）
6. 八捨九入（カラット）

カラット

通常，切り捨て，切り上げ，最近接丸め（四捨五入，五捨五超入，銀行丸め等）以外の丸め方は必要ないが， 限定された状況で歪んだ丸め方が取り決められている場合がある。

カラット（ct）は質量の単位で，1ct = 0.2g を表す。

ダイヤモンドの品質を保証する鑑定書は，アメリカ宝石学協会，全国宝石学協会，中央宝石研究所等の機関から発行され， カラット，カラー，クラリティ，カット等の評価基準がある。 カラットの表示は鑑定機関ごとに異なり，八捨九入が用いられる場合がある。

小数第3位まで表示（四捨五入）

国内の鑑定機関では，カラット数の小数第4位を四捨五入して，小数第3位まで表示される。

カラット数の測定値が 0.9995 以上 1.0005 未満ならば，鑑定書の表記が 1.000ct になる。

小数第2位まで表示（四捨五入→八捨九入）

アメリカ宝石学協会（GIA）では，カラット数の小数第4位を四捨五入して小数第3位まで表示した後， さらに小数第3位を八捨九入して小数第2位まで表示される。

カラット数の測定値が 0.9985 以上 1.0085 未満ならば，GIA鑑定書の表記が 1.00ct になる。 「四捨五入」の後に「八捨九入」するのは「84捨85入」と同等になる。

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