Home 丸め方の基礎 最近接丸め 五捨六入 エクセル関数 五捨五超入 銀行丸め
1. 床関数と天井関数
2. 切り捨てと切り上げ
3. 四捨五入と五捨五超入
4. 銀行丸め
5. 負数の丸め方
6. 丸めの幅
実数 x に対して，x 以下の整数のうち最大のものを ⌊x⌋ と表し，床関数という。 x 以上の整数のうち最小のものを ⌈x⌉ と表し，天井関数という。 \(\mathbb{Z}\)は整数全体の集合である。 \[ \lfloor x\rfloor=\max \{n\in \mathbb{Z}\mid n\le x\},\qquad \lceil x\rceil=\min \{n\in \mathbb{Z}\mid x\le n\} \] 床関数 ⌊x⌋ は x−1<n≤x を満たす整数 n で，端数の切り捨てを表す。 天井関数 ⌈x⌉ は x≤n<x+1 を満たす整数 n で，端数の切り上げを表す。 \[ x-1<\lfloor x\rfloor \le x,\qquad x\le \lceil x\rceil <x+1 \tag{1} \]
床関数 y=⌊x⌋ のグラフを， x方向に1，y方向に1だけ平行移動しても，グラフは変化しない。 天井関数 y=⌈x⌉ も同様である。 \begin{equation} k\in \mathbb{Z}\implies \lfloor x+k\rfloor =\lfloor x\rfloor +k,\qquad \lceil x+k\rceil =\lceil x\rceil +k \tag{2} \end{equation} たとえば x=1.23，k=4 のとき，上式の左辺と右辺は一致する。 \begin{align*} &\lfloor 1.23+4\rfloor=\lfloor 5.23\rfloor=5,\qquad \lfloor 1.23\rfloor +4=1+4=5 \\ &\lceil 1.23+4\rceil=\lceil 5.23\rceil=6,\qquad \lceil 1.23\rceil +4=2+4=6 \end{align*} 符号を換えると，床関数と天井関数を相互に変換できる。 \begin{equation} \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil,\qquad \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor \tag{3} \end{equation} たとえば x=1.23 のとき，上式の左辺と右辺は一致する。 \begin{align*} &\lfloor 1.23\rfloor=1,\qquad -\lceil -1.23\rceil =-(-1)=1 \\ &\lceil 1.23\rceil=2,\qquad -\lfloor -1.23\rfloor =-(-2)=2 \end{align*}
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実数 x を，それに近接する整数に置き換えることを「丸める」という。 切り捨て，切り上げ，四捨五入，五捨五超入，銀行丸め等の方法がある。 どの丸め方でも，整数 x は，x に丸められ，変化しない。 \[ \text{\(x\)が整数ならば，}\qquad x\xrightarrow{丸め}x \] 正の実数 x を整数部 Int(x) と小数部 Frac(x) に分解すると， 整数部は Int(x)=⌊x⌋，小数部は Frac(x)=x-⌊x⌋ と表せる。 小数部は常に 0≤Frac(x)<1 の範囲内にある。 \begin{equation} x=\operatorname{Int}(x)+\operatorname{Frac}(x),\qquad \begin{cases} \operatorname{Int}(x)=\lfloor x\rfloor \\ \operatorname{Frac}(x)=x-\lfloor x\rfloor \end{cases} \end{equation}
小数部が 0 のときは丸められないので考えなくてよい。 小数部を切り捨てて 0 に置き換えることを切り捨てという。 区間 (0, 1) は，0<x<1 を満たす実数 x の集まりである。 \begin{align*} &\text{小数部} &&\text{切り捨て} \\ &(0.0,\;1.0) &&\to 0 \end{align*} 切り捨ては床関数 ⌊x⌋ で求めることができる。 \begin{gather*} x\xrightarrow{切り捨て}\lfloor x\rfloor \\ 3.14\xrightarrow{切り捨て} 3,\qquad 4.5\xrightarrow{切り捨て} 4,\qquad 5.71\xrightarrow{切り捨て} 5 \end{gather*}
小数部が 0 のときは丸められないので考えなくてよい。 小数部が 0 でないとき，小数部を切り上げて 1 に置き換える（整数部に1を加える）ことを切り上げという。 \begin{align*} &\text{小数部} &&\text{切り上げ} \\ &(0.0,\;1.0) &&\to 1 \end{align*} 切り上げは天井関数 ⌈x⌉ で求めることができる。 \begin{gather*} x\xrightarrow{切り上げ}\lceil x\rceil \\ 3.14\xrightarrow{切り上げ} 4,\qquad 4.5\xrightarrow{切り上げ} 5,\qquad 5.71\xrightarrow{切り上げ} 6 \end{gather*}
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小数部が 0.5 未満なら切り捨てて 0 に置き換え， 小数部が 0.5 以上なら切り上げて 1 に置き換える（整数部に1を加える）ことを四捨五入という。 区間 (0, 0.5) は，0<x<0.5 を満たす実数 x の集まりである。 0.5 は切り上げられる。 \begin{align*} &\text{小数部} &&\text{四捨五入} \\ &(0.0,\;0.5) &&\to 0 \\ &[0.5,\;1.0) &&\to 1 \end{align*} 四捨五入は床関数を用いて ⌊x+0.5⌋ で求めることができる。 \begin{gather*} x\xrightarrow{四捨五入}\lfloor x+0.5\rfloor \\ 3.14\xrightarrow{四捨五入} 3,\qquad 4.5\xrightarrow{四捨五入} 5,\qquad 5.71\xrightarrow{四捨五入} 6 \end{gather*}
小数部が 0.5 以下なら切り捨てて 0 に置き換え， 小数部が 0.5 を超えるなら切り上げて 1 に置き換える（整数部に1を加える）ことを五捨五超入という。 区間 (0, 0.5] は，0<x≤0.5 を満たす実数 x の集まりである。 0.5 は切り捨てられる。 \begin{align*} &\text{小数部} &&\text{五捨五超入} \\ &(0.0,\;0.5] &&\to 0 \\ &(0.5,\;1.0) &&\to 1 \end{align*} 五捨五超入は天井関数を用いて ⌈x−0.5⌉ で求めることができる。 \begin{gather*} x\xrightarrow{五捨五超入}\lceil x-0.5\rceil \\ 3.14\xrightarrow{五捨五超入} 3,\qquad 4.5\xrightarrow{五捨五超入} 4,\qquad 5.71\xrightarrow{五捨五超入} 6 \end{gather*}
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銀行丸め（Banker's rounding）はJIS丸め，ISO丸めともよばれ， JIS Z 8401:2019 規則Aに定められている。 実数 x に銀行丸めを行った結果を ⌊x⌉ と表す。
実数 x に対して， x に最も近い整数が1つだけある（小数部が0.5でない）場合はその整数に丸め， x に最も近い整数が2つある（小数部が0.5である）場合はそれらの整数のうち偶数であるほうに丸める。 \begin{gather*} x\xrightarrow{銀行丸め} \lfloor x\rceil=\left\{ \begin{array}{p{12zw}l} \text{\(x\)に最も近い整数}\quad \operatorname{Frac}(x)\ne 0.5\\ \text{\(x\)に最も近い偶数}\quad \operatorname{Frac}(x)=0.5 \end{array}\right. \end{gather*}
実数 x の銀行丸めは， x の整数部が偶数の場合は五捨五超入に等しく， x の整数部が奇数の場合は四捨五入に等しい。 \begin{gather*} x\xrightarrow{銀行丸め} \lfloor x\rceil=\begin{cases} \text{\(x\)の五捨五超入}\quad \text{\(\operatorname{Int}(x)\)が偶数}\\ \text{\(x\)の四捨五入}\quad \text{\(\operatorname{Int}(x)\)が奇数} \end{cases} \\ 1.5\xrightarrow{銀行丸め} 2,\qquad 1.9\xrightarrow{銀行丸め} 2,\qquad 2.5\xrightarrow{銀行丸め} 2 \end{gather*}
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負の実数 x を丸める場合は， 負数 x の符号を反転させた −x を正数として丸め，その結果の符号を再度反転させる。 たとえば，−3.14を切り捨てる場合は \[ -3.14\xrightarrow{符号反転}3.14\xrightarrow{切り捨て} 3\xrightarrow{符号反転}-3 \] とする。 正数 x の切り捨ては ⌊x⌋， 負数 x の切り捨ては −⌊−x⌋ で求められる。
ただし，この規則を適用せず， 正数も負数も常に ⌊x⌋ で切り捨てるほうが適切な場合もある。
正数 x を ⌈x⌉ で，負数 x を −⌈−x⌉ で丸める。 床関数・天井関数の性質から，−⌈−x⌉=⌊x⌋ である。 この関数を C(x) と表すことにする。 \begin{gather*} x\xrightarrow{切り上げ} C(x)=\begin{cases} \lceil x\rceil &x\ge 0\\\lfloor x\rfloor &x\le 0 \end{cases} \\ -3.14\xrightarrow{切り上げ} -4,\qquad -4.5\xrightarrow{切り上げ} -5,\qquad -5.71\xrightarrow{切り上げ} -6 \end{gather*}
正数 x を ⌊x+0.5⌋ で，負数 x を −⌊−x+0.5⌋ で丸める。 床関数・天井関数の性質から， −⌊−x+0.5⌋=−⌊−(x−0.5)⌋=⌈x−0.5⌉ である。 この関数を R(x) と表すことにする。 \begin{gather*} x\xrightarrow{四捨五入} R(x)=\begin{cases} \lfloor x+0.5\rfloor &x>-0.5\\\lceil x-0.5\rceil &x<0.5 \end{cases} \\ -3.14\xrightarrow{四捨五入} -3,\qquad -4.5\xrightarrow{四捨五入} -5,\qquad -5.71\xrightarrow{四捨五入} -6 \end{gather*}
正数 x を ⌈x−0.5⌉ で，負数 x を −⌈−x−0.5⌉ で丸める。 床関数・天井関数の性質から， −⌈−x−0.5⌉=−⌈−(x+0.5)⌉=⌊x+0.5⌋ である。 この関数を Ř(x) と表すことにする。 \begin{gather*} x\xrightarrow{五捨五超入} \check{R}(x)=\begin{cases} \lceil x-0.5\rceil &x>-0.5\\\lfloor x+0.5\rfloor &x<0.5 \end{cases} \\ -3.14\xrightarrow{五捨五超入} -3,\qquad -4.5\xrightarrow{五捨五超入} -4,\qquad -5.71\xrightarrow{五捨五超入} -6 \end{gather*}
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整数に丸める場合だけでなく，1以外の値を単位として丸めることもできる。 たとえば，x=1234 を d=10 を単位として四捨五入する場合は， x=1234 を d=10 で割った値を四捨五入し，その結果に d=10 を掛ければよい。 \[ 1234\xrightarrow{\div 10}123.4\xrightarrow{四捨五入} 123\xrightarrow{\times 10}1230 \] x=3.1415 を d=0.001 を単位として四捨五入する場合は， x=3.1415 を d=0.001 で割った値を四捨五入し，その結果に d=0.001 を掛ける。 \[ 3.1415\xrightarrow{\div 0.001}3141.5\xrightarrow{四捨五入} 3142\xrightarrow{\times 0.001}3.142 \] 丸めの幅を1として，実数 x を整数に丸めるための関数を一般に f(x) とする。 このとき，丸めの幅を d>0 として，実数 x を d の整数倍に丸めるための関数は \begin{equation} f(x\div d)\times d \end{equation} となる。 この関数を fd(x) と表すことにする。
正数 x を d を丸めの幅として切り捨てるとき， \[ \lfloor x\div d\rfloor \times d \] 負数 x を d を丸めの幅として切り捨てるとき， \[ \lceil x\div d\rceil \times d \] であるから， 任意の実数 x を d を丸めの幅として切り捨てる関数 Fd(x) は \[ F^d(x)=\begin{cases} \lfloor x\div d\rfloor \times d &x\ge 0\\ \lceil x\div d\rceil \times d &x\le 0 \end{cases} \] と表せる。
正数 x を d を丸めの幅として切り上げるとき， \[ \lceil x\div d\rceil \times d \] 負数 x を d を丸めの幅として切り上げるとき， \[ \lfloor x\div d\rfloor \times d \] であるから， 任意の実数 x を d を丸めの幅として切り上げる関数 Cd(x) は \[ C^d(x)=\begin{cases} \lceil x\div d\rceil \times d &x\ge 0\\ \lfloor x\div d\rfloor \times d &x\le 0 \end{cases} \] と表せる。
正数 x を d を丸めの幅として四捨五入するとき， \[ \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d \] 負数 x を d を丸めの幅として四捨五入するとき， \[ \lceil x\div d-0.5\rceil \times d \] であるから， 任意の実数 x を d を丸めの幅として四捨五入する関数 Rd(x) は \[ R^d(x)=\begin{cases} \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d &x\div d>-0.5\\ \lceil x\div d-0.5\rceil \times d &x\div d<0.5 \end{cases} \] と表せる。
正数 x を d を丸めの幅として五捨五超入するとき， \[ \lceil x\div d-0.5\rceil \times d \] 負数 x を d を丸めの幅として五捨五超入するとき， \[ \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d \] であるから， 任意の実数 x を d を丸めの幅として五捨五超入する関数 Řd(x) は \[ \check{R}{}^d(x)=\begin{cases} \lceil x\div d-0.5\rceil \times d &x\div d>-0.5\\ \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d &x\div d<0.5 \end{cases} \] と表せる。
実数 x を d を丸めの幅として銀行丸めをする関数は \[ \lfloor x\div d\rceil \times d \] と表せる。 これを，x÷d の小数部が0.5であるかどうかで場合分けすると \[ \begin{cases} \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d =\lceil x\div d-0.5\rceil \times d &\operatorname{Frac}(x\div d)\ne 0.5\\ \lfloor x\div (2d)+0.5\rfloor \times 2d =\lceil x\div (2d)-0.5\rceil \times 2d &\operatorname{Frac}(x\div d)=0.5 \end{cases} \] x÷d の整数部が偶数であるかどうかで場合分けすると \[ \begin{cases} \lceil x\div d-0.5\rceil \times d &\text{$\operatorname{Int}(x\div d)$が偶数}\\ \lfloor x\div d+0.5\rfloor \times d &\text{$\operatorname{Int}(x\div d)$が奇数} \end{cases} \] のように表現することもできる。
最後のページです
2012.12.24 作成 / 2020.4.24 更新
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