1. 8の倍数，98の倍数の判定

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

8の倍数（2，4の倍数）の判定

十進法で表された数 54736 は各位ごとに分解して表せる。 \[ 54736=5\times 10^4 +4\times 10^3 +7\times 10^2 +3\times 10+6\times 1 \] 各位の単位（10⁴，10³，10²等）から2のべきを引いたものは，8の倍数である。 \begin{align} &10^4-2^4=(10-2)(1000+100\times 2+10\times 4+8)=8\times 1248 \\ &10^3-2^3=(10-2)(100+10\times 2+4)=8\times 124 \\ &10^2-2^2=(10-2)(10+2)=8\times 12 \end{align} 43512 が8の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 54736 &=5\times 10^4 +4\times 10^3 +7\times 10^2 +3\times 10+6\times 1 \\ &=5\times (10^4-2^4)+4\times (10^3-2^3)+7\times (10^2-2^2)+3\times (10-2) \\ &\qquad +5\times 2^4+4\times 2^3+7\times 2^2+3\times 2+6\times 1 \\ &=5\times 8\times 1248+4\times 8\times 124+7\times 8\times 12+3\times 8\times 1 \\ &\qquad +5\times 2^4+4\times 2^3+7\times 2^2+3\times 2+6\times 1 \\ &=8\times (5\times 1248+4\times 124+7\times 12+3\times 1) \\ &\qquad +5\times 2^4+4\times 2^3+7\times 2^2+3\times 2+6\times 1 \end{align} 8×(5×1248+4×124+7×12+3×1) の部分は8の倍数なので， 5×2⁴+4×2³+7×2²+3×2+6×1 が8の倍数なら，54736 も8の倍数になる。 \[ 8\mid 54736\iff 8\mid 5\times 2^4+4\times 2^3+7\times 2^2+3\times 2+6\times 1 \] 5×2⁴+4×2³+7×2²+3×2+6×1=152 は8の倍数だから，54736 も8の倍数である。

なお，8の倍数は2，4の倍数でもあるので，上の方法で2，4の倍数を判定できる。

98の倍数（2，7，14，49の倍数）の判定

十進法で表された数を2桁ごとに区切って百進法とみなすと，98の倍数を判定できる。 百進法とみなして 73010 を各位ごとに分解する。 \[ 73010=7\times 100^2 +30\times 100+10\times 1 \] 各位の単位（100³，100²等）から2のべきを引いたものは，98の倍数である。 \begin{align} &100^3-2^3=(100-2)(10000+100\times 2+4)=98\times 10204 \\ &100^2-2^2=(100-2)(100+2)=98\times 102 \end{align} 73010 が98の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 73010 &=7\times 100^2 +30\times 100+10\times 1 \\ &=7\times (100^2-2^2)+30\times (100-2) \\ &\qquad +7\times 2^2+30\times 2+10\times 1 \\ &=7\times 98\times 102+30\times 98\times 1 \\ &\qquad +7\times 2^2+30\times 2+10\times 1 \\ &=98\times (7\times 102+30\times 1) \\ &\qquad +7\times 2^2+30\times 2+10\times 1 \end{align} 98×(7×102+30×1) の部分は98の倍数なので， 7×2²+30×2+10×1 が98の倍数なら，73010 も98の倍数になる。 \[ 98\mid 73010\iff 98\mid 7\times 2^2+30\times 2+10\times 1 \] 7×2²+30×2+10×1=98 は98の倍数だから，73010 も98の倍数である。

なお，98の倍数は2，7，14，49の倍数でもあるので，上の方法で2，7，14，49の倍数を判定できる。

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2. 12の倍数，102の倍数の判定

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

12の倍数（2，3，4，6の倍数）の判定

十進法で表された数 25836 は各位ごとに分解して表せる。 \[ 25836=2\times 10^4 +5\times 10^3 +8\times 10^2 +3\times 10+6\times 1 \] 各位の単位（10⁴，10³，10²等）のうち，奇数乗の場合は2のべきを加えたもの，偶数乗の場合は2のべきを引いたものは，12の倍数である。 \begin{align} &10^4-2^4=(10+2)(1000-100\times 2+10\times 4-8)=12\times 832 \\ &10^3+2^3=(10+2)(100-10\times 2+4)=12\times 84 \\ &10^2-2^2=(10+2)(10-2)=12\times 8 \end{align} 25836 が12の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 25836 &=2\times 10^4 +5\times 10^3 +8\times 10^2 +3\times 10+6\times 1 \\ &=2\times (10^4-2^4)+5\times (10^3+2^3)+8\times (10^2-2^2)+3\times (10+2) \\ &\qquad +2\times 2^4-5\times 2^3+8\times 2^2-3\times 2+6\times 1 \\ &=2\times 12\times 832+5\times 12\times 84+8\times 12\times 8+3\times 12\times 1 \\ &\qquad +2\times 2^4-5\times 2^3+8\times 2^2-3\times 2+6\times 1 \\ &=12\times (2\times 832+5\times 84+8\times 8+3\times 1) \\ &\qquad +2\times 2^4-5\times 2^3+8\times 2^2-3\times 2+6\times 1 \end{align} 12×(2×832+5×84+8×8+3×1) の部分は12の倍数なので， 2×2⁴−5×2³+8×2²−3×2+6×1 が12の倍数なら，25836 も12の倍数になる。 \[ 12\mid 25836\iff 12\mid 2\times 2^4-5\times 2^3+8\times 2^2-3\times 2+6\times 1 \] 2×2⁴−5×2³+8×2²−3×2+6×1=24 は12の倍数だから，25836 も12の倍数である。

なお，12の倍数は2，3，4，6の倍数でもあるので，上の方法で2，3，4，6の倍数を判定できる。

102の倍数（2，3，6，17，34，51の倍数）の判定

十進法で表された数を2桁ごとに区切って百進法とみなすと，102の倍数を判定できる。 百進法とみなして 63240 を各位ごとに分解する。 \[ 63240=6\times 100^2 +32\times 100+40\times 1 \] 各位の単位（100³，100²等）のうち，奇数乗の場合は2のべきを加えたもの，偶数乗の場合は2のべきを引いたものは，102の倍数である。 \begin{align} &100^3+2^3=(100+2)(10000-100\times 2+4)=102\times 9804 \\ &100^2-2^3=(100+2)(100-2)=102\times 98 \end{align} 63240 が102の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 63240 &=6\times 100^2 +32\times 100+40\times 1 \\ &=6\times (100^2-2^2)+32\times (100+2) \\ &\qquad +6\times 2^2-32\times 2+40\times 1 \\ &=6\times 102\times 98+32\times 102\times 1 \\ &\qquad +6\times 2^2-32\times 2+40\times 1 \\ &=102\times (6\times 98+32\times 1) \\ &\qquad +6\times 2^2-32\times 2+40\times 1 \end{align} 102×(6×98+32×1) の部分は102の倍数なので， 6×2²−32×2+40×1 が102の倍数なら，63240 も102の倍数になる。 \[ 102\mid 63240\iff 102\mid 6\times 2^2-32\times 2+40\times 1 \] 6×2²−32×2+40×1=0 は102の倍数だから，63240 も102の倍数である。

なお，102の倍数は2，3，6，17，34，51の倍数でもあるので，上の方法で2，3，6，17，34，51の倍数を判定できる。

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3. 倍数の判定法（べき展開）

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

べき級数展開

8，98の倍数や12，102の倍数の判定法を用いると，べき展開で倍数を判定できる。

後方べき展開

19，21，29，31の倍数や199，201，299，301の倍数の判定法を用いると，べき展開で倍数を判定できる。

付録：主な数の素因数分解

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4. 19の倍数，21の倍数の判定

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

19の倍数の判定

ある数が19の倍数であるかどうかを判定するかわりに， 一の位の2倍をそれより上位の部分に加えた数について判定してもよい。 以下，その理由を述べる。

19と2は互いに素なので，31578 が19の倍数であることと，2×31578 が19の倍数であることは同等である。 \[ 19\mid 31578\iff 19\mid 2\times 31578 \] 2×31578 が19の倍数であることを確かめるために，一の位とそれより上位の部分に分け，次のような変形をする。 \begin{align} 2\times 31578 &=2\times (31570+8) \\ &=20\times 3157+2\times 8 \\ &=(20-1)\times 3157+3157+2\times 8 \\ &=19\times 3157+3157+2\times 8 \end{align} 19×3157 の部分は19の倍数なので， 3157+2×8 が19の倍数なら，2×31578 も19の倍数になる。 \[ 19\mid 31578\iff 19\mid 2\times 31578\iff 19\mid 3157+2\times 8 \] 31578 が19の倍数であることと，3157+2×8 が19の倍数であることは同等である。 よって，31578 を 3157+2×8=3173 に置き換えて判定してもよい。この操作を繰り返す。 \[ 19\mid 31578\iff 19\mid 3173\iff 19\mid 323\iff 19\mid 38\iff 19\mid 19 \] 19 は19の倍数だから，31578 も19の倍数である。

51の倍数（3，17の倍数）の判定

ある数が51の倍数（3，17の倍数）であるかどうかを判定するかわりに， 一の位の5倍をそれより上位の部分から引いた数について判定してもよい。

51と5は互いに素なので，28713 が51の倍数であることと，5×28713 が51の倍数であることは同等である。 \[ 51\mid 28713\iff 51\mid 5\times 28713 \] 5×28713 が51の倍数であることを確かめるために，一の位とそれより上位の部分に分け，次のような変形をする。 \begin{align} 5\times 28713 &=5\times (28710+3) \\ &=50\times 2871+5\times 3 \\ &=(50+1)\times 2871-2871+5\times 3 \\ &=51\times 2871-(2871-5\times 3) \end{align} 51×2871 の部分は51の倍数なので， 2871−5×3 が51の倍数なら，5×28713 も51の倍数になる。 \[ 51\mid 28713\iff 51\mid 5\times 28713\iff 51\mid 2871-5\times 3 \] 28713 が51の倍数であることと，2871−5×3 が51の倍数であることは同等である。 よって，28713 を 2871−5×3=2856 に置き換えて判定してもよい。この操作を繰り返す。 \[ 51\mid 28713\iff 51\mid 2856\iff 51\mid 255\iff 51\mid 0 \] 0 は51の倍数だから，28713 も51の倍数である。

なお，51の倍数は3，17の倍数でもあるので，上の方法で3，17の倍数を判定できる。 \[ 17\mid 28713\iff 17\mid 2856\iff 17\mid 255\iff 17\mid 0 \] 0 は17の倍数だから，28713 も17の倍数である。

級数展開による表現

19の倍数

31578 が19の倍数であることを確かめるために，次のように置き換える。 \begin{align} 2\times 31578 &=19\times 3157+3157+2\times 8 \\ 2\times 3157 &=19\times 315+315+2\times 7 \\ 2\times 315 &=19\times 31+31+2\times 5 \\ 2\times 31 &=19\times 3+3+2\times 1 \end{align} 2のべきを付け加えて， \begin{align} 2^4\times 31578 &=2^3\times 19\times 3157+2^3\times 3157+2^4\times 8 \\ 2^3\times 3157 &=2^2\times 19\times 315+2^2\times 315+2^3\times 7 \\ 2^2\times 315 &=2\times 19\times 31+2\times 31+2^2\times 5 \\ 2\times 31 &=1\times 19\times 3+1\times 3+2\times 1 \end{align} 3157，315，31 を消去すると， \begin{align} 2^4\times 31578 &=19\times (2^3\times 3157+2^2\times 315+2\times 31+1\times 3) \\ &\qquad +1\times 3+2\times 1+2^2\times 5+2^3\times 7+2^4\times 8 \end{align} が成り立つから， 1×3+2×1+2²×5+2³×7+2⁴×8 が19の倍数なら，31578 も19の倍数になる。 \[ 19\mid 31578\iff 19\mid 1\times 3+2\times 1+2^2\times 5+2^3\times 7+2^4\times 8 \] 1×3+2×1+2²×5+2³×7+2⁴×8=209 は19の倍数だから，31578 も19の倍数である。

51の倍数

28713 が51の倍数であることを確かめるために，次のように置き換える。 \begin{align} 5\times 28713 &=51\times 2871-2871+5\times 3 \\ 5\times 2871 &=51\times 287-287+5\times 1 \\ 5\times 287 &=51\times 28-28+5\times 7 \\ 5\times 28 &=51\times 2-2+5\times 8 \end{align} −5のべきを付け加えて， \begin{align} 5^4\times 28713 &=5^3\times 51\times 2871-5^3\times 2871+5^4\times 3 \\ -5^3\times 2871 &=-5^2\times 51\times 287+5^2\times 287-5^3\times 1 \\ 5^2\times 287 &=5\times 51\times 28-5\times 28+5^2\times 7 \\ -5\times 28 &=-1\times 51\times 2+1\times 2-5\times 8 \end{align} 2871，287，28 を消去すると， \begin{align} 5^4\times 28713 &=51\times (5^3\times 2871-5^2\times 287+5\times 28-1\times 2) \\ &\qquad +1\times 2-5\times 8+5^2\times 7-5^3\times 1+5^4\times 3 \end{align} が成り立つから， 1×2−5×8+5²×7−5³×1+5⁴×3 が51の倍数なら，28713 も51の倍数になる。 \[ 51\mid 28713\iff 51\mid 1\times 2-5\times 8+5^2\times 7-5^3\times 1+5^4\times 3 \] 1×2−5×8+5²×7−5³×1+5⁴×3=1887 は51の倍数だから，28713 も51の倍数である。

なお，51の倍数は3，17の倍数でもあるので，上の方法で3，17の倍数を判定できる。 \[ 17\mid 28713\iff 17\mid 1\times 2-5\times 8+5^2\times 7-5^3\times 1+5^4\times 3 \] 1×2−5×8+5²×7−5³×1+5⁴×3=1887 は17の倍数だから，28713 も17の倍数である。

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5. 199の倍数，201の倍数の判定

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

199の倍数の判定

ある数が199の倍数であるかどうかを判定するかわりに， 十の位・一の位の2桁の2倍をそれより上位の部分に加えた数について判定してもよい。 以下，その理由を述べる。

199と2は互いに素なので，49352 が199の倍数であることと，2×49352 が19の倍数であることは同等である。 \[ 199\mid 49352\iff 199\mid 2\times 49352 \] 2×49352 が19の倍数であることを確かめるために，十の位・一の位の2桁とそれより上位の部分に分け，次のような変形をする。 \begin{align} 2\times 49352 &=2\times (49300+52) \\ &=200\times 493+2\times 52 \\ &=(200-1)\times 493+493+2\times 52 \\ &=199\times 493+493+2\times 52 \end{align} 199×493 の部分は199の倍数なので， 493+2×52 が199の倍数なら，2×49352 も199の倍数になる。 \[ 199\mid 49352\iff 199\mid 2\times 49352\iff 199\mid 493+2\times 52 \] 49352 が199の倍数であることと，493+2×52 が199の倍数であることは同等である。 よって，49352 を 493+2×52=597 に置き換えて判定してもよい。この操作を繰り返す。 \[ 199\mid 49352\iff 199\mid 597\iff 199\mid 199 \] 199 は199の倍数だから，49352 も199の倍数である。

301の倍数（7，43の倍数）の判定

ある数が301の倍数（7，43の倍数）であるかどうかを判定するかわりに， 十の位・一の位の2桁の3倍をそれより上位の部分から引いた数について判定してもよい。

301と3は互いに素なので，97524 が301の倍数であることと，3×97524 が301の倍数であることは同等である。 \[ 301\mid 97524\iff 301\mid 3\times 97524 \] 3×97524 が301の倍数であることを確かめるために，十の位・一の位の2桁とそれより上位の部分に分け，次のような変形をする。 \begin{align} 3\times 97524 &=3\times (97500+24) \\ &=300\times 975+3\times 24 \\ &=(300+1)\times 975-975+3\times 24 \\ &=301\times 975-(975-3\times 24) \end{align} 301×975 の部分は301の倍数なので， 975−3×24 が301の倍数なら，3×97524 も301の倍数になる。 \[ 301\mid 97524\iff 301\mid 3\times 97524\iff 301\mid 975-3\times 24 \] 97524 が301の倍数であることと，975−3×24 が301の倍数であることは同等である。 よって，97524 を 975−3×24=903 に置き換えて判定してもよい。この操作を繰り返す。 \[ 301\mid 97524\iff 301\mid 903\iff 301\mid 0 \] 0 は301の倍数だから，97524 も301の倍数である。

なお，301の倍数は7，43の倍数でもあるので，上の方法で7，43の倍数を判定できる。 \[ 43\mid 97524\iff 43\mid 903\iff 43\mid 0 \] 0 は43の倍数だから，97524 も43の倍数である。

級数展開による表現

199の倍数

49352 が199の倍数であることを確かめるために，次のように置き換える。 \begin{align} 2\times 49352 &=199\times 493+493+2\times 52 \\ 2\times 493 &=199\times 4+4+2\times 93 \end{align} 2のべきを付け加えて， \begin{align} 2^2\times 49352 &=2\times 199\times 493+2\times 493+2^2\times 52 \\ 2\times 493 &=1\times 199\times 4+1\times 4+2\times 93 \end{align} 493 を消去すると， \begin{align} 2^2\times 49352 &=199\times (2\times 493+1\times 4) \\ &\qquad +1\times 4+2\times 93+2^2\times 52 \end{align} が成り立つから， 1×4+2×93+2²×52 が199の倍数なら，49352 も199の倍数になる。 \[ 199\mid 49352\iff 199\mid 1\times 4+2\times 93+2^2\times 52 \] 1×4+2×93+2²×52=398 は199の倍数だから，49352 も199の倍数である。

301の倍数

97524 が301の倍数であることを確かめるために，次のように置き換える。 \begin{align} 3\times 97524 &=301\times 975-975+3\times 24 \\ 3\times 975 &=301\times 9-9+3\times 75 \end{align} −3のべきを付け加えて， \begin{align} 3^2\times 97524 &=3\times 301\times 975-3\times 975+3^2\times 24 \\ -3\times 975 &=-1\times 301\times 9+1\times 9-3\times 75 \end{align} 975 を消去すると， \begin{align} 3^2\times 97524 &=301\times (3\times 975-1\times 9) \\ &\qquad +1\times 9-3\times 75+3^2\times 24 \end{align} が成り立つから， 1×9−3×75+3²×24 が301の倍数なら，97524 も301の倍数になる。 \[ 301\mid 97524\iff 301\mid 1\times 9-3\times 75+3^2\times 24 \] 1×9−3×75+3²×24=0 は301の倍数だから，97524 も301の倍数である。

なお，301の倍数は7，43の倍数でもあるので，上の方法で7，43の倍数を判定できる。 \[ 43\mid 97524\iff 43\mid 1\times 9-3\times 75+3^2\times 24 \] 1×9−3×75+3²×24=0 は43の倍数だから，97524 も43の倍数である。

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6. 倍数の判定法（裁断）

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

19，21，29，31等の倍数の判定法

十進法で fedcba と表される数は次のように分解できる。 \[ fedcba=f\times 10^5 +e\times 10^4 +d\times 10^3 +c\times 10^2 +b\times 10+a\times 1 \] fedcba が 10×k−1 の倍数であるかどうかは fedcb+k×a によって，10×k+1 の倍数であるかどうかは fedcb−k×a によって判定できる。 \[ 19\mid fedcba\iff 19\mid fedcb+2\times a\\ 21\mid fedcba\iff 21\mid fedcb-2\times a\\ 29\mid fedcba\iff 29\mid fedcb+3\times a\\ 31\mid fedcba\iff 31\mid fedcb-3\times a \] 32015 が19の倍数であるかどうかを判定するかわりに 3201+2×5=3211 が19の倍数であるかを判定すればよく， 3211 が19の倍数であるかどうかを判定するかわりに 321+2×1=323 が19の倍数であるかを判定すればよい。 この操作を繰り返す。 \[ 19\mid 32015\iff 19\mid 3211\iff 19\mid 323\iff 19\mid 38\iff 19\mid 19 \] 19 は19の倍数だから，32015 も19の倍数である。

199，201，299，301等の倍数の判定法

fedcba が 100×k−1 の倍数であるかどうかは fedc+k×ba によって，100×k+1 の倍数であるかどうかは fedc−k×ba によって判定できる。 \[ 199\mid fedcba\iff 199\mid fedc+2\times ba\\ 201\mid fedcba\iff 201\mid fedc-2\times ba\\ 299\mid fedcba\iff 299\mid fedc+3\times ba\\ 301\mid fedcba\iff 301\mid fedc-3\times ba \] 87591 が301の倍数であるかどうかを判定するかわりに 875−3×91=602 が301の倍数であるかを判定すればよい。 この操作を繰り返す。 \[ 301\mid 87591\iff 301\mid 602\iff 301\mid 0 \] 0 は301の倍数だから，87591 も301の倍数である。

判定法

付録：主な数の素因数分解

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7. 剰余による判定

1. 8の倍数
2. 12の倍数
3. 判定法（展開）
4. 19の倍数
5. 199の倍数
6. 判定法（裁断）
7. 剰余類

剰余類

除数が n のとき，n で割った剰余が等しい数の集まりを剰余類といい，a を要素にもつ剰余類を [a] と表す。 除数が n=7 なら，剰余類には [0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6] がある。

剰余類の和と積

剰余類 [a] の要素のひとつを a+jn，剰余類 [b] の要素のひとつを b+kn とすると， それらの和については， \[ [a]+[b]=(a+jn)+(b+kn)=a+b+(j+k)n=[a+b] \] であるから，[a]+[b]=[a+b] が成り立つ。 積については， \[ [a][b]=(a+jn)(b+kn)=ab+(ak+bj+jkn)n=[ab] \] であるから，[a][b]=[ab] が成り立つ。

剰余による判定

7の倍数であるかどうかを判定する場合は，各桁の剰余をあらかじめ計算しておく。 [0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6] はそのままにして， \[ [7]=[0],\qquad [8]=[1],\qquad [9]=[2],\qquad [10]=[3] \] であり，百の位から上位については， \begin{align} &[100]=[10\times 10]=[10][10]=[3][3]=[3\times 3]=[9]=[2] \\ &[1000]=[100\times 10]=[100][10]=[2][3]=[2\times 3]=[6] \\ &[10000]=[1000\times 10]=[1000][10]=[6][3]=[6\times 3]=[18]=[4] \\ &[100000]=[10000\times 10]=[10000][10]=[4][3]=[4\times 3]=[12]=[5] \end{align} のように剰余を計算できる。 10703 が7の倍数であるかどうかを判定する場合は，10703 を7で割った剰余を求める。 \begin{align} [10703] &=[1\times 10000+7\times 100+3] \\ &=[1][10000]+[7][100]+[3] \\ &=[1][4]+[0][2]+[3] \\ &=[1\times 4+0\times 2+3] =[7] \\ &=[0] \end{align} 10703 を7で割った剰余が0だから，10703 は7の倍数である。

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倍数の判定（応用）

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