1. 10の倍数，100の倍数の判定

1. 10の倍数
2. 9の倍数
3. 11の倍数
4. 判定法（基本）

約数・倍数

整数 a，b について，「a が b の約数である」または「b が a で割り切れる」とき， あるいは「ka=b を満たす整数 k が存在する」とき，それを次のように表現する。 \[ a\mid b \]

10の倍数の判定

十進法で表された数 42350 は各位ごとに分解して表せる。 \[ 42350=4\times 10^4 +2\times 10^3 +3\times 10^2 +5\times 10+0\times 1 \] 42350 が10の倍数であることを確かめるために，一の位とそれより上位の部分に分ける。 上位の部分は常に10の倍数である。 \[ 42350=10\times (4\times 1000+2\times 100+3\times 10+5\times 1)+0 \] 一の位は10の倍数（つまり0）だから，42350 も10の倍数である。

2，5の倍数の判定

10の倍数は2，5の倍数でもあるので，上の方法で2，5の倍数を判定できる。 たとえば 27816 が2の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 2\mid 27816\iff 2\mid 6 \] 一の位は2の倍数だから，27816 も2の倍数である。

100の倍数の判定

十進法で表された数を2桁ごとに区切って百進法とみなすと，100の倍数を判定できる。 百進法とみなして 62500 を各位ごとに分解する。 \[ 62500=6\times 100^2 +25\times 100+0\times 1 \] 62500 が100の倍数であることを確かめるために，十の位以下の2桁とそれより上位の部分に分ける。 上位の部分は常に100の倍数である。 \[ 62500=100\times (6\times 100+25\times 1)+0 \] 十の位と一の位の2桁は100の倍数（つまり0）だから，62500 も100の倍数である。

2，4，5，10，20，25，50の倍数の判定

100の倍数は2，4，5，10，20，25，50の倍数でもあるので，上の方法で2，4，5，10，20，25，50の倍数を判定できる。 たとえば 36975 が25の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 25\mid 36975\iff 25\mid 75 \] 十の位と一の位の2桁は25の倍数だから，36975 も25の倍数である。

1000の倍数の判定

十進法で表された数を3桁ごとに区切って千進法とみなすと，1000の倍数を判定できる。 千進法とみなして 2516000 を各位ごとに分解する。 \[ 2516000=2\times 1000^2 +516\times 1000+0\times 1 \] 2516000 が1000の倍数であることを確かめるために，百の位以下の3桁とそれより上位の部分に分ける。 上位の部分は常に1000の倍数である。 \[ 2516000=1000\times (2\times 1000+516\times 1)+0 \] 百の位から一の位までの3桁は1000の倍数（つまり0）だから，2516000 も1000の倍数である。

2，4，5，8，10，20，25，40，50，100，125，200，250，500の倍数の判定

1000の倍数は2，4，5，8，10，20，25，40，50，100，125，200，250，500の倍数でもあるので，上の方法で2，4，5，8，10，20，25，40，50，100，125，200，250，500の倍数を判定できる。 たとえば 14352 が8の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 8\mid 14352\iff 8\mid 352 \] 百の位から一の位までの3桁は8の倍数だから，14352 も8の倍数である。

次のページへ

1 2 3 4 Next

2. 9の倍数，99の倍数の判定

1. 10の倍数
2. 9の倍数
3. 11の倍数
4. 判定法（基本）

9の倍数の判定

十進法で表された数 73629 は各位ごとに分解して表せる。 \[ 73629=7\times 10^4 +3\times 10^3 +6\times 10^2 +2\times 10+9\times 1 \] 各位の単位（10⁵，10⁴，10³，10²等）から1を引いたものは，すべて9の倍数である。 \begin{align} &10^5-1=(10-1)(10000+1000+100+10+1)=9\times 11111 \\ &10^4-1=(10-1)(1000+100+10+1)=9\times 1111 \\ &10^3-1=(10-1)(100+10+1)=9\times 111 \\ &10^2-1=(10-1)(10+1)=9\times 11 \end{align} 73629 が9の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 73629 &=7\times 10^4 +3\times 10^3 +6\times 10^2 +2\times 10+9\times 1 \\ &=7\times (10^4-1)+3\times (10^3-1)+6\times (10^2-1)+2\times (10-1) \\ &\qquad +7+3+6+2+9 \\ &=7\times 9\times 1111+3\times 9\times 111+6\times 9\times 11+2\times 9\times 1 \\ &\qquad +7+3+6+2+9 \\ &=9\times (7\times 1111+3\times 111+6\times 11+2\times 1)+7+3+6+2+9 \end{align} 9×(7×1111+3×111+6×11+2×1) の部分は9の倍数なので， 7+3+6+2+9 が9の倍数なら，73629 も9の倍数になる。 \[ 9\mid 73629\iff 9\mid 7+3+6+2+9 \] 7+3+6+2+9=27 は9の倍数だから，73629 も9の倍数である。

3の倍数の判定

9の倍数は3の倍数でもあるので，上の方法で3の倍数を判定できる。 16248 が3の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 3\mid 16248\iff 3\mid 1+6+2+4+8 \] 1+6+2+4+8=21 は3の倍数だから，16248 も3の倍数である。

99の倍数の判定

十進法で表された数を2桁ごとに区切って百進法とみなすと，99の倍数を判定できる。 百進法とみなして 24156 を各位ごとに分解する。 \[ 24156=2\times 100^2 +41\times 100+56\times 1 \] 各位の単位（100³，100²等）から1を引いたものは，すべて99の倍数である。 \begin{align} &100^3-1=(100-1)(10000+100+1)=99\times 10101 \\ &100^2-1=(100-1)(100+1)=99\times 101 \end{align} 24156 が99の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 24156 &=2\times 100^2 +41\times 100+56\times 1 \\ &=2\times (100^2-1)+41\times (100-1) \\ &\qquad +2+41+56 \\ &=2\times 99\times 101+41\times 99\times 1 \\ &\qquad +2+41+56 \\ &=99\times (2\times 101+41\times 1)+2+41+56 \end{align} 99×(1×101+52×1) の部分は99の倍数なので， 2+41+56 が99の倍数なら，24156 も99の倍数になる。 \[ 99\mid 24156\iff 99\mid 2+41+56 \] 2+41+56=99 は99の倍数だから，24156 も99の倍数である。

3，9，11，33の倍数の判定

99の倍数は3，9，11，33の倍数でもあるので，上の方法で3，9，11，33の倍数を判定できる。 45287 が11の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 11\mid 45287\iff 11\mid 4+52+87 \] 4+52+87=143 は11の倍数だから，45287 も11の倍数である。

999の倍数の判定

十進法で表された数を3桁ごとに区切って千進法とみなすと，999の倍数を判定できる。 千進法とみなして 8572419 を各位ごとに分解する。 \[ 8572419=8\times 1000^2 +572\times 1000+419\times 1 \] 各位の単位（1000³，1000²等）から1を引いたものは，すべて999の倍数である。 \begin{align} &1000^3-1=(1000-1)(1000000+1000+1)=999\times 1001001 \\ &1000^2-1=(1000-1)(1000+1)=999\times 1001 \end{align} 8572419 が999の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 8572419 &=8\times 1000^2 +572\times 1000+419\times 1 \\ &=8\times (1000^2-1)+572\times (1000-1) \\ &\qquad +8+572+419 \\ &=8\times 999\times 1001+572\times 999\times 1 \\ &\qquad +8+572+419 \\ &=999\times (8\times 1001+572\times 1)+8+572+419 \end{align} 999×(8×1001+572×1) の部分は999の倍数なので， 8+572+419 が999の倍数なら，8572419 も999の倍数になる。 \[ 999\mid 8572419\iff 999\mid 8+572+419 \] 8+572+419=999 は999の倍数だから，8572419 も999の倍数である。

3，9，27，37，111，333の倍数の判定

999の倍数は3，9，27，37，111，333の倍数でもあるので，上の方法で3，9，27，37，111，333の倍数を判定できる。 38591 が37の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 37\mid 38591\iff 37\mid 38+591 \] 38+591=629 は37の倍数だから，38591 も37の倍数である。

次のページへ

1 2 3 4 Next

3. 11の倍数，101の倍数の判定

1. 10の倍数
2. 9の倍数
3. 11の倍数
4. 判定法（基本）

11の倍数の判定

十進法で表された数 45287 は各位ごとに分解して表せる。 \[ 45287=4\times 10^4 +5\times 10^3 +2\times 10^2 +8\times 10+7\times 1 \] 各位の単位（10⁵，10⁴，10³，10²等）のうち，奇数乗の場合は1を加えたもの，偶数乗の場合は1を引いたものは，すべて11の倍数である。 \begin{align} &10^5+1=(10+1)(10000-1000+100-10+1)=11\times 9091 \\ &10^4-1=(10+1)(1000-100+10-1)=11\times 909 \\ &10^3+1=(10+1)(100-10+1)=11\times 91 \\ &10^2-1=(10+1)(10-1)=11\times 9 \end{align} 45287 が11の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 45287 &=4\times 10^4 +5\times 10^3 +2\times 10^2 +8\times 10+7\times 1 \\ &=4\times (10^4-1)+5\times (10^3+1)+2\times (10^2-1)+8\times (10+1) \\ &\qquad +4-5+2-8+7 \\ &=4\times 11\times 909+5\times 11\times 91+2\times 11\times 9+8\times 11\times 1 \\ &\qquad +4-5+2-8+7 \\ &=11\times (4\times 909+5\times 91+2\times 9+8\times 1)+4-5+2-8+7 \end{align} 11×(4×909+5×91+2×9+8×1) の部分は11の倍数なので， 4−5+2−8+7 が11の倍数なら，45287 も11の倍数になる。 \[ 11\mid 45287\iff 11\mid 4-5+2-8+7 \] 4−5+2−8+7=0 は11の倍数だから，45287 も11の倍数である。

101の倍数の判定

十進法で表された数を2桁ごとに区切って百進法とみなすと，101の倍数を判定できる。 百進法とみなして 68074 を各位ごとに分解する。 \[ 68074=6\times 100^2 +80\times 100+74\times 1 \] 各位の単位（100³，100²等）のうち，奇数乗の場合は1を加えたもの，偶数乗の場合は1を引いたものは，すべて101の倍数である。 \begin{align} &100^3+1=(100+1)(10000-100+1)=101\times 9901 \\ &100^2-1=(100+1)(100-1)=101\times 99 \end{align} 68074 が101の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 68074 &=6\times 100^2 +80\times 100+74\times 1 \\ &=6\times (100^2-1)+80\times (100+1) \\ &\qquad +6-80+74 \\ &=6\times 101\times 99+80\times 101\times 1 \\ &\qquad +6-80+74 \\ &=101\times (6\times 99+80\times 1)+6-80+74 \end{align} 101×(6×99+80×1) の部分は101の倍数なので， 6−80+74 が101の倍数なら，68074 も101の倍数になる。 \[ 101\mid 68074\iff 101\mid 6-80+74 \] 6−80+74=0 は101の倍数だから，68074 も101の倍数である。

1001の倍数の判定

十進法で表された数を3桁ごとに区切って千進法とみなすと，1001の倍数を判定できる。 千進法とみなして 5402397 を各位ごとに分解する。 \[ 5402397=5\times 1000^2 +402\times 1000+397\times 1 \] 各位の単位（1000³，1000²等）のうち，奇数乗の場合は1を加えたもの，偶数乗の場合は1を引いたものは，すべて1001の倍数である。 \begin{align} &1000^3+1=(1000+1)(1000000-1000+1)=1001\times 999001 \\ &1000^2-1=(1000+1)(1000-1)=1001\times 999 \end{align} 5402397 が1001の倍数であることを確かめるために，次のような変形をする。 \begin{align} 5402397 &=5\times 1000^2 +402\times 1000+397\times 1 \\ &=5\times (1000^2-1)+402\times (1000+1) \\ &\qquad +5-402+397 \\ &=5\times 1001\times 999+402\times 1001\times 1 \\ &\qquad +5-402+397 \\ &=1001\times (5\times 999+402\times 1)+5-402+397 \end{align} 1001×(5×999+402×1) の部分は1001の倍数なので， 5−402+397 が1001の倍数なら，5402397 も1001の倍数になる。 \[ 1001\mid 5402397\iff 1001\mid 5-402+397 \] 5−402+397=0 は1001の倍数だから，5402397 も1001の倍数である。

7，11，13，77，91，143の倍数の判定

1001の倍数は7，11，13，77，91，143の倍数でもあるので，上の方法で7，11，13，77，91，143の倍数を判定できる。 48295 が13の倍数であることは，次のようにして確かめられる。 \[ 13\mid 48295\iff 13\mid -48+295 \] −48+295=247 は13の倍数だから，48295 も13の倍数である。

次のページへ

1 2 3 4 Next

4. 倍数の判定法（基本）

1. 10の倍数
2. 9の倍数
3. 11の倍数
4. 判定法（基本）

10，100，1000の倍数の判定法

十進法で fedcba と表される数は次のように分解できる。 \[ fedcba=f\times 10^5 +e\times 10^4 +d\times 10^3 +c\times 10^2 +b\times 10+a\times 1 \] fedcba が10の倍数であるかどうかは，a によって判定できる。 \[ 10\mid fedcba\iff 10\mid a \] 同様に，100の倍数であるかどうかは ba によって，1000の倍数であるかどうかは cba によって判定できる。 \[ 100\mid fedcba\iff 100\mid ba,\qquad 1000\mid fedcba\iff 1000\mid cba \]

9，99，999の倍数の判定法

fedcba が9の倍数であるかどうかは，f+e+d+c+b+a によって判定できる。 \[ 9\mid fedcba\iff 9\mid f+e+d+c+b+a \] 同様に，99の倍数であるかどうかは fe+dc+ba によって，999の倍数であるかどうかは fed+cba によって判定できる。 \[ 99\mid fedcba\iff 99\mid fe+dc+ba,\qquad 999\mid fedcba\iff 999\mid fed+cba \]

11，101，1001の倍数の判定法

fedcba が11の倍数であるかどうかは，−f+e−d+c−b+a によって判定できる。 \[ 11\mid fedcba\iff 11\mid -f+e-d+c-b+a \] 同様に，101の倍数であるかどうかは fe−dc+ba によって，1001の倍数であるかどうかは −fed+cba によって判定できる。 \[ 101\mid fedcba\iff 101\mid fe-dc+ba,\qquad 1001\mid fedcba\iff 1001\mid -fed+cba \]

判定法

付録：主な数の素因数分解

合成数の場合

判定法が上の表にない場合は，複数の判定法を組み合わせて判定できる場合がある。 たとえば，2の倍数でもあり3の倍数でもある数は，6の倍数になる。

最後のページです

1 2 3 4 Home

倍数の判定（基本）

Home  因数分解  10，9，11の倍数  その他の倍数