1. 倍数判定に用いる因数分解

1. 因数分解
2. 2次式に分解

Xⁿ−1 の因数分解

Xⁿ−1 は次のように因数分解することができる。 \[ X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\dots +X+1) \] このことは，右辺を展開して確かめられる。 \begin{align} (X-1)(X^{n-1} &+X^{n-2}+X^{n-3}+\dots +X+1) \\ =X^n &+X^{n-1}+X^{n-2}+\dots +X^2+X \\ &-X^{n-1}-X^{n-2}-\dots -X^2-X-1 \\ =X^n &-1 \end{align}

xⁿ±yⁿ の因数分解

X を x/y に置き換えると， \[ \frac{x^n}{y^n}-1=\left(\frac{x}{y}-1\right) \left(\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}}+\frac{x^{n-2}}{y^{n-2}}+\frac{x^{n-3}}{y^{n-3}}+\dots +1\right) \] となるから， \[ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots +y^{n-1}) \tag{1} \] が得られる。 さらに，n が奇数のとき，y を −y に置き換えると， \[ x^n-(-y)^n=\{x-(-y)\}\{x^{n-1}+x^{n-2}(-y)+x^{n-3}(-y)^2+\dots +(-y)^{n-1}\} \\ \] となるから， \[ x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\dots +y^{n-1}) \qquad n:\text{奇数} \tag{2} \] 同様に，n が偶数のとき，y を −y に置き換えると， \[ x^n-y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\dots -y^{n-1}) \qquad n:\text{偶数} \tag{3} \] が得られる。

n=2，3，4，5 の場合

上の結果を利用すると，xⁿ±yⁿ は次のように因数分解できる。 n=2 のときは， \begin{align} &x^2-y^2=(x-y)(x+y) \\ &x^2-y^2=(x+y)(x-y) \end{align} n=3 のときは， \begin{align} &x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \\ &x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \end{align} n=4 のときは， \begin{align} &x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3) \\ &x^4-y^4=(x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3) \end{align} n=5 のときは， \begin{align} &x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) \\ &x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4) \end{align}

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2. xⁿ±yⁿを2次式に因数分解

1. 因数分解
2. 2次式に分解

このページの内容は，倍数の判定のために必要ではない。

X^m−1 の因数分解

1のm乗根を用いると，Xⁿ−1 は次のように因数分解することができる。 \[ X^m-1=\prod_{k=0}^{m-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{m}+i\sin \frac{2k\pi}{m}\right)\right\} \] −1のm乗根を用いると，Xⁿ+1 は次のように因数分解することができる。 \[ X^m+1=\prod_{k=0}^{m-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k+1}{m}\pi +i\sin \frac{2k+1}{m}\pi \right)\right\} \]

奇数乗

x^m−y^m の因数分解

m が奇数のとき，m=2n+1 とおき，X^m−1 を因数分解する。 \begin{align} X^{2n+1}-1 &=\prod_{k=0}^{2n} \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin \frac{2k\pi}{2n+1}\right)\right\} \\ &=(X-1)\prod_{k=1}^n \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin \frac{2k\pi}{2n+1}\right)\right\} \\ &\hspace{5em}\times \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n+1}-i\sin \frac{2k\pi}{2n+1}\right)\right\} \\ &=(X-1)\prod_{k=1}^n \left(X^2-2X\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+1\right) \end{align} X を x/y に置き換えると， \[ \frac{x^{2n+1}}{y^{2n+1}}-1=\left(\frac{x}{y}-1\right) \prod_{k=1}^n \left(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+1\right) \] となるから， \[ x^{2n+1}-y^{2n+1}=(x-y)\prod_{k=1}^n \left(x^2-2xy\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+y^2\right) \tag{1} \] が得られる。

x^m+y^m の因数分解

さらに y を −y に置き換えると， \[ x^{2n+1}+y^{2n+1}=(x+y)\prod_{k=1}^n \left(x^2+2xy\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+y^2\right) \tag{2} \] が得られる。

偶数乗

x^m−y^m の因数分解

m が偶数のとき，m=2n とおき，X^m−1 を因数分解する。 \begin{align} X^{2n}-1 &=\prod_{k=0}^{2n-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin \frac{2k\pi}{2n+1}\right)\right\} \\ &=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n}+i\sin \frac{2k\pi}{2n}\right)\right\} \\ &\hspace{8em}\times \left\{X-\left(\cos \frac{2k\pi}{2n}-i\sin \frac{2k\pi}{2n}\right)\right\} \\ &=(X^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} \left(X^2-2X\cos \frac{k\pi}{n}+1\right) \end{align} X を x/y に置き換えると， \[ x^{2n}-y^{2n}=(x^2-y^2)\prod_{k=1}^{n-1} \left(x^2-2xy\cos \frac{k\pi}{n}+y^2\right) \tag{3} \] が得られる。

x^m+y^m の因数分解

m が偶数のとき，m=2n とおき，X^m+1 を因数分解する。 \begin{align} X^{2n}+1 &=\prod_{k=0}^{2n-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k+1}{2n}\pi +i\sin \frac{2k+1}{2n}\pi \right)\right\} \\ &=\prod_{k=0}^{n-1} \left\{X-\left(\cos \frac{2k+1}{2n}\pi +i\sin \frac{2k+1}{2n}\pi \right)\right\} \\ &\hspace{2em}\times \left\{X-\left(\cos \frac{2k+1}{2n}\pi -i\sin \frac{2k+1}{2n}\pi \right)\right\} \\ &=\prod_{k=0}^{n-1} \left(X^2-2X\cos \frac{2k+1}{2n}\pi +1\right) \end{align} X を x/y に置き換えると， \[ x^{2n}-y^{2n}=(x^2-y^2)\prod_{k=1}^{n-1} \left(x^2-2xy\cos \frac{2k+1}{2n}\pi +y^2\right) \tag{4} \] が得られる。

m=3，4，5，6の場合

上の結果を利用すると，xⁿ±yⁿ は次のように因数分解できる。 m=3 のときは， \begin{align} x^3-y^3 &=(x-y)\left(x^2-2xy\cos \frac{2\pi}{3}+y^2\right) =(x-y)(x^2+xy+y^2) \\ x^3+y^3 &=(x+y)(x^2-xy+y^2) \end{align} m=4 のときは， \begin{align} x^4-y^4 &=(x^2-y^2)(x^2+y^2) \\ x^4+y^4 &=\left(x^2-2xy\cos \frac{\pi}{4}+y^2\right)\left(x^2-2xy\cos \frac{3\pi}{4}+y^2\right) \\ &=(x^2-\sqrt{2}xy+y^2)(x^2+\sqrt{2}xy+y^2) \end{align} m=5 のときは， \begin{align} x^5-y^5 &=(x-y)\left(x^2-2xy\cos \frac{2\pi}{5}+y^2\right)\left(x^2-2xy\cos \frac{4\pi}{5}+y^2\right) \\ &=(x-y)\left(x^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}xy+y^2\right)\left(x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}xy+y^2\right) \\ x^5+y^5 &=(x+y)\left(x^2+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}xy+y^2\right)\left(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}xy+y^2\right) \end{align} m=6 のときは， \begin{align} x^6-y^6 &=(x^2-y^2)\left(x^2-2xy\cos \frac{\pi}{3}+y^2\right)\left(x^2-2xy\cos \frac{2\pi}{3}+y^2\right) \\ &=(x^2-y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2) \\ x^6+y^6 &=\left(x^2-2xy\cos \frac{\pi}{6}+y^2\right)(x^2+y^2)\left(x^2-2xy\cos \frac{5\pi}{6}+y^2\right) \\ &=(x^2-\sqrt{3}xy+y^2)(x^2+y^2)(x^2+\sqrt{3}xy+y^2) \end{align}

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倍数判定のための因数分解

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