1. Cauchy-Schwarzの不等式

1. Cauchy-Schawarzの不等式
2. 2次方程式を用いる証明
3. 相関係数
4. 標準偏差と平均偏差

Cauchy-Schwarzの不等式

n は自然数とし， 任意の実数 x₁，x₂，…，x_n と y₁，y₂，…，y_n に対して次の不等式が成り立つ。 $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \tag{1}$$

n=3の場合の証明

まず n=3 の場合の不等式を証明しよう。 $$\left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^3 {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^3 {y_i}^2}$$ そのために，両辺の2乗についての不等式を証明する。 $$\sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2 - \left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \ge 0$$ 第1項を，i と j が異なる部分と一致する部分に分けて展開し， $$\begin{align} \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2 &= \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{j=1}^3 {y_j}^2 = (x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2) \\ &= (x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2)+(x_1^2 y_3^2+x_3^2 y_1^2) +(x_2^2 y_3^2+x_3^2 y_2^2)+(x_1^2 y_1^2+x_2^2 y_2^2+x_3^2 y_3^2) \end{align}$$ 第2項も同じように展開する。 $$\begin{align} \left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 &= \sum_{i=1}^3 x_i y_i \sum_{j=1}^3 x_j y_j = (x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3)(x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3) \\ &= 2 x_1 y_1 x_2 y_2+2 x_1 y_1 x_3 y_3+2 x_2 y_2 x_3 y_3 +(x_1^2 y_1^2+x_2^2 y_2^2+x_3^2 y_3^2) \end{align}$$ 第1項から第2項を引くと，各々の展開式の最終項が相殺されて， $$\begin{align} &\hspace{-1em} \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2-\left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \\ &= x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2-2 x_1 y_1 x_2 y_2 \\ &\,{}+x_1^2 y_3^2+x_3^2 y_1^2-2 x_1 y_1 x_3 y_3 \\ &\,{}+x_2^2 y_3^2+x_3^2 y_2^2-2 x_2 y_2 x_3 y_3 \\ &= (x_1 y_2-x_2 y_1)^2+(x_1 y_3-x_3 y_1)^2+(x_2 y_3-x_3 y_2)^2 \ge 0 \end{align}$$ が得られる。よって $$\left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2$$ となるので，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 $$\left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^3 {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^3 {y_i}^2}$$

一般の証明

一般の n についても上の証明と同じような展開をすればよい。 ΣΣ_{i ≠ j}とは，i ≠ j を満たすすべての i，j についての総和， ΣΣ_{i < j}とは，i < j を満たすすべての i，j についての総和のことである。 $$\begin{align} \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{i=1}^n {y_i}^2 -\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 &= \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{j=1}^n {y_j}^2 -\sum_{i=1}^n x_i y_i \sum_{j=1}^n x_j y_j \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i \ne j} ({x_i}^2 {y_j}^2-x_i y_i x_j y_j) +\sum_{i=1}^n ({x_i}^2 {y_i}^2-{x_i}^2 {y_i}^2) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i \ne j} ({x_i}^2 {y_j}^2-x_i y_i x_j y_j) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i < j} ({x_i}^2 {y_j}^2+{x_j}^2 {y_i}^2-x_i y_i x_j y_j-x_j y_j x_i y_i) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i < j} (x_i y_j-x_j y_i)^2 \ge 0 \end{align}$$ よって $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{i=1}^n {y_i}^2$$ となるので，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2}$$

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2. 2次方程式を用いる証明

1. Cauchy-Schawarzの不等式
2. 2次方程式を用いる証明
3. 相関係数
4. 標準偏差と平均偏差

Cauchy-Schwarzの不等式

n は自然数とし， 任意の実数 x₁，x₂，…，x_n と y₁，y₂，…，y_n に対して次の不等式が成り立つ。 $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \tag{1}$$

2次方程式を用いる証明

実数 t についての2次式の和を展開する。 $$\sum_{i=1}^n (t x_i - y_i)^2 = t^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2t \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n y_i^2$$ これは2乗の和になっているから常に非負である。 したがって次の t についての2次方程式は，解をもたないか重解をもつかのどちらかである。 $$t^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2t \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n y_i^2 = 0$$ 解の判別式が負または0となるので， $$0 \ge \frac{D}{4} = \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2$$ が成り立つ。 $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2$$ であるから，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 $$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2}$$

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3. 相関係数

1. Cauchy-Schawarzの不等式
2. 2次方程式を用いる証明
3. 相関係数
4. 標準偏差と平均偏差

相関係数とは

x₁，x₂，…，x_n と y₁，y₂，…，y_n に対して，次の値を x の標準偏差（standard deviation）といい，σ_x で表す。 μ_x は x の平均値とする。 $$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x)^2}$$ y の標準偏差 σ_y も同様にする。 $$\sigma_y = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i-\mu_y)^2}$$ また，次の値を x と y の共分散（covariance）といい，σ_xy で表す。 $$\sigma_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)$$ そして次の値を相関係数（correlation coefficient）といい，ρ_xy で表す。 $$\rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$$ 一般に −1 ≤ ρ_xy ≤ 1 となることが知られている。 そのことを以下に示す。

相関係数の値の範囲

相関係数は常に −1 以上かつ 1 以下である（−1 ≤ ρ_xy ≤ 1）。 Cauchy-Schwarzの不等式を利用してこれを示そう。 x_i−μ_x と y_i−μ_y に対して， Cauchy-Schwarzの不等式を用いる。 $$\left|\sum (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\right| \le \sqrt{\sum (x_i-\mu_x)^2} \sqrt{\sum (x_i-\mu_x)^2}$$ 両辺を n で割ると $$\left|\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\right| \le \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)^2}$$ 左辺は共分散の絶対値，右辺は2つの変数の標準偏差の積である。 等式全体を右辺値で割ると $$\left|\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\right| \le 1$$ となり，|ρ_xy| ≤ 1 であるから， 相関係数 ρ_xy の値の範囲は $$-1 \le \rho_{xy} \le 1$$ となることがわかる。

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4. 標準偏差と平均偏差

1. Cauchy-Schawarzの不等式
2. 2次方程式を用いる証明
3. 相関係数
4. 標準偏差と平均偏差

標準偏差・平均偏差とは

x₁，x₂，…，x_n に対して，次の値を標準偏差（standard deviation）といい，SD で表す。 μ は平均値とする。 $$\text{SD} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}$$ また，次の値を平均値からの平均絶対偏差（average absolute deviation）といい，AD で表す。 簡単に平均偏差ということもある。μ は平均値とする。 $$\text{AD} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i-\mu|$$ 一般に AD ≤ SD となることが知られている。 そのことを以下に示す。

標準偏差と平均偏差の大小

平均偏差は標準偏差より常に小さいかまたは等しい（AD ≤ SD）。 Cauchy-Schwarzの不等式を利用してこれを示そう。 x_i と μ の差の絶対値を y_i とおく。 $$y_i = |x_i - \mu|$$ y_i と 1 に対して，Cauchy-Schwarzの不等式を用いる。 $$\left|\sum y_i \cdot 1\right| \le \sqrt{\sum {y_i}^2} \sqrt{\sum 1^2}$$ 両辺を n で割ると $$\frac{1}{n} \sum y_i \le \sqrt{\frac{1}{n} \sum {y_i}^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum 1^2}$$ 左辺は平均偏差，右辺は標準偏差と1との積である。 よって $$\text{AD} \le \text{SD}$$ となることがわかる。

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