1. Cauchy-Schawarzの不等式
2. 2次方程式を用いる証明
3. 相関係数
4. 標準偏差と平均偏差
n は自然数とし， 任意の実数 x1，x2，…，xn と y1，y2，…，yn に対して次の不等式が成り立つ。 \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \tag{1} \]
まず n=3 の場合の不等式を証明しよう。 \[ \left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^3 {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^3 {y_i}^2} \] そのために，両辺の2乗についての不等式を証明する。 \[ \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2 - \left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \ge 0 \] 第1項を，i と j が異なる部分と一致する部分に分けて展開し， \begin{align} \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2 &= \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{j=1}^3 {y_j}^2 = (x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2) \\ &= (x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2)+(x_1^2 y_3^2+x_3^2 y_1^2) +(x_2^2 y_3^2+x_3^2 y_2^2)+(x_1^2 y_1^2+x_2^2 y_2^2+x_3^2 y_3^2) \end{align} 第2項も同じように展開する。 \begin{align} \left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 &= \sum_{i=1}^3 x_i y_i \sum_{j=1}^3 x_j y_j = (x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3)(x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3) \\ &= 2 x_1 y_1 x_2 y_2+2 x_1 y_1 x_3 y_3+2 x_2 y_2 x_3 y_3 +(x_1^2 y_1^2+x_2^2 y_2^2+x_3^2 y_3^2) \end{align} 第1項から第2項を引くと，各々の展開式の最終項が相殺されて， \begin{align} &\hspace{-1em} \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2-\left|\sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \\ &= x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2-2 x_1 y_1 x_2 y_2 \\ &\,{}+x_1^2 y_3^2+x_3^2 y_1^2-2 x_1 y_1 x_3 y_3 \\ &\,{}+x_2^2 y_3^2+x_3^2 y_2^2-2 x_2 y_2 x_3 y_3 \\ &= (x_1 y_2-x_2 y_1)^2+(x_1 y_3-x_3 y_1)^2+(x_2 y_3-x_3 y_2)^2 \ge 0 \end{align} が得られる。よって \[ \left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^3 {x_i}^2 \sum_{i=1}^3 {y_i}^2 \] となるので，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 \[ \left| \sum_{i=1}^3 x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^3 {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^3 {y_i}^2} \]
一般の n についても上の証明と同じような展開をすればよい。 ΣΣi ≠ jとは，i ≠ j を満たすすべての i，j についての総和， ΣΣi < jとは，i < j を満たすすべての i，j についての総和のことである。 \begin{align} \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{i=1}^n {y_i}^2 -\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 &= \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{j=1}^n {y_j}^2 -\sum_{i=1}^n x_i y_i \sum_{j=1}^n x_j y_j \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i \ne j} ({x_i}^2 {y_j}^2-x_i y_i x_j y_j) +\sum_{i=1}^n ({x_i}^2 {y_i}^2-{x_i}^2 {y_i}^2) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i \ne j} ({x_i}^2 {y_j}^2-x_i y_i x_j y_j) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i < j} ({x_i}^2 {y_j}^2+{x_j}^2 {y_i}^2-x_i y_i x_j y_j-x_j y_j x_i y_i) \\ &= \mathop{\sum\sum}\limits_{i < j} (x_i y_j-x_j y_i)^2 \ge 0 \end{align} よって \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \] となるので，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
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n は自然数とし， 任意の実数 x1，x2，…，xn と y1，y2，…，yn に対して次の不等式が成り立つ。 \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \tag{1} \]
実数 t についての2次式の和を展開する。 \[ \sum_{i=1}^n (t x_i - y_i)^2 = t^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2t \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n y_i^2 \] これは2乗の和になっているから常に非負である。 したがって次の t についての2次方程式は，解をもたないか重解をもつかのどちらかである。 \[ t^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2t \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n y_i^2 = 0 \] 解の判別式が負または0となるので， \[ 0 \ge \frac{D}{4} = \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 \] が成り立つ。 \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right|^2 \le \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 \] であるから，2乗を取り去ると次の不等式が成り立つことがわかる。 \[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
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4. 標準偏差と平均偏差
x1，x2，…，xn と y1，y2，…，yn に対して，次の値を x の標準偏差（standard deviation）といい，σx で表す。 μx は x の平均値とする。 \[ \sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x)^2} \] y の標準偏差 σy も同様にする。 \[ \sigma_y = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i-\mu_y)^2} \] また，次の値を x と y の共分散（covariance）といい，σxy で表す。 \[ \sigma_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) \] そして次の値を相関係数（correlation coefficient）といい，ρxy で表す。 \[ \rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} \] 一般に −1 ≤ ρxy ≤ 1 となることが知られている。 そのことを以下に示す。
相関係数は常に −1 以上かつ 1 以下である（−1 ≤ ρxy ≤ 1）。 Cauchy-Schwarzの不等式を利用してこれを示そう。 xi−μx と yi−μy に対して， Cauchy-Schwarzの不等式を用いる。 \[ \left|\sum (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\right| \le \sqrt{\sum (x_i-\mu_x)^2} \sqrt{\sum (x_i-\mu_x)^2} \] 両辺を n で割ると \[ \left|\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\right| \le \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i-\mu_x)^2} \] 左辺は共分散の絶対値，右辺は2つの変数の標準偏差の積である。 等式全体を右辺値で割ると \[ \left|\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\right| \le 1 \] となり，|ρxy| ≤ 1 であるから， 相関係数 ρxy の値の範囲は \[ -1 \le \rho_{xy} \le 1 \] となることがわかる。
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4. 標準偏差と平均偏差
x1，x2，…，xn に対して，次の値を標準偏差（standard deviation）といい，SD で表す。 μ は平均値とする。 \[ \text{SD} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} \] また，次の値を平均値からの平均絶対偏差（average absolute deviation）といい，AD で表す。 簡単に平均偏差ということもある。μ は平均値とする。 \[ \text{AD} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i-\mu| \] 一般に AD ≤ SD となることが知られている。 そのことを以下に示す。
平均偏差は標準偏差より常に小さいかまたは等しい（AD ≤ SD）。 Cauchy-Schwarzの不等式を利用してこれを示そう。 xi と μ の差の絶対値を yi とおく。 \[ y_i = |x_i - \mu| \] yi と 1 に対して，Cauchy-Schwarzの不等式を用いる。 \[ \left|\sum y_i \cdot 1\right| \le \sqrt{\sum {y_i}^2} \sqrt{\sum 1^2} \] 両辺を n で割ると \[ \frac{1}{n} \sum y_i \le \sqrt{\frac{1}{n} \sum {y_i}^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum 1^2} \] 左辺は平均偏差，右辺は標準偏差と1との積である。 よって \[ \text{AD} \le \text{SD} \] となることがわかる。
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2016.8.6 作成 / 2016.8.16 更新
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