1. 親核種の壊変

1. 親核種
2. 微分方程式
3. 娘核種
4. 積分定数
5. 孫娘核種

放射性核種の壊変

壊変定数 λ>0 をもつ放射性核種の変化を微分方程式を利用して求める。 時刻 t≥0 における核種数を N=N(t) とし，初期値を N(0)=N₀ とする。 \[ \frac{dN}{dt}=-\lambda N,\qquad N(0)=N_0 \] 次のように積分すると，N が求められる。 \begin{align*} \int_0^t \frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,dt &=-\lambda \int_0^t dt\\ \Bigl[\ln N\Bigr]_0^t &=-\lambda \Bigl[t\Bigr]_0^t\\ \ln \frac{N}{N_0} &=-\lambda t\\ \frac{N}{N_0} &=e^{-\lambda t} \end{align*} よって，次の結果が得られる。 \[ N=N_0 e^{-\lambda t} \]

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2. 放射性壊変のための微分方程式

1. 親核種
2. 微分方程式
3. 娘核種
4. 積分定数
5. 孫娘核種

親核種や外部からの供給がある場合

壊変定数 λ>0 をもつ放射性核種の変化を微分方程式を利用して求める。 時刻 t≥0 における核種数を N=N(t) とし，初期値を N(0)=N₀ とする。 親核種が壊変したり，外部から取り入れられたりして供給を受ける場合の微分方程式は次のものである。 供給 f(t) は既知とする。 \[ \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N+f(t),\qquad N(0)=N_0 \tag{1} \] 以下のように変形して，解くことができる。 \begin{align*} \dfrac{dN}{dt}+\lambda N &=f(t)\\ \dfrac{dN}{dt}e^{\lambda t}+\lambda Ne^{\lambda t} &=f(t)e^{\lambda t}\\ \frac{d}{dt}(Ne^{\lambda t}) &=f(t)e^{\lambda t}\\ \Bigl[Ne^{\lambda t}\Bigr]_0^t &=\int_0^t f(t)e^{\lambda t}\,dt\\ Ne^{\lambda t}-N_0 &=\int_0^t f(t)e^{\lambda t}\,dt \end{align*} よって，次の結果が得られる。 \[ N=e^{-\lambda t}\int_0^t f(t)e^{\lambda t}\,dt+N_0e^{-\lambda t} \tag{2} \] 特に，N₀=0（初期値が0）の場合は， \[ N=e^{-\lambda t}\int_0^t f(t)e^{\lambda t}\,dt \tag{3} \] f(t)=0（供給が0）の場合は， \[ N=N_0e^{-\lambda t} \tag{4} \] となる。

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3. 娘核種の壊変

1. 親核種
2. 微分方程式
3. 娘核種
4. 積分定数
5. 孫娘核種

娘核種の壊変

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種の変化を微分方程式を利用して求める。 ただし，両核種とも放射性で，壊変定数は異なる（λ₁≠λ₂）とする。 時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t) とし，初期値を N₁(0)=N₀，N₂(0)=0 とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_0\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=0 \end{align*} 親核種 N₁ はすでに求めた（N₁=N₀e^−λ₁t）。 放射性壊変のための微分方程式を用いると，娘核種 N₂ が求められる。 \begin{align*} N_2 &=e^{-\lambda_2 t} \int_0^t \lambda_1 N_1 e^{\lambda_2 t}\,dt\\ &=e^{-\lambda_2 t} \int_0^t \lambda_1 (N_0 e^{-\lambda_1 t})e^{\lambda_2 t}\,dt\\ &=\lambda_1 N_0 e^{-\lambda_2 t} \int_0^t e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}\,dt\\ &=\lambda_1 N_0 e^{-\lambda_2 t} \left[\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}\right]_0^t\\ &=\lambda_1 N_0 e^{-\lambda_2 t} \left(\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}-\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\right) \end{align*} よって，N₂ が得られる。 \[ N_2=\lambda_1 N_0 \left(\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1 t}+\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_2 t}\right) \]

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4. 積分定数の求め方

1. 親核種
2. 微分方程式
3. 娘核種
4. 積分定数
5. 孫娘核種

積分定数を求める公式

同一系列に属する核種の壊変定数（λ₁，λ₂，λ₃，…）はすべて正で，互いに異なるとする。 簡単のため，λ_ij=λ_i−λ_j と表すと，次の法則が成り立つ。 \begin{gather*} \frac{1}{\lambda_{ik}}-\frac{1}{\lambda_{jk}} =\frac{1}{\lambda_i-\lambda_k}-\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k} =\frac{\lambda_j-\lambda_i}{(\lambda_i-\lambda_k)(\lambda_j-\lambda_k)} =\frac{\lambda_{ji}}{\lambda_{ik}\lambda_{jk}}\\ \frac{1}{\lambda_{ik}}-\frac{1}{\lambda_{jk}}=\frac{\lambda_{ji}}{\lambda_{ik}\lambda_{jk}} \end{gather*}

2項の関係

インデックス1，2に対して次の和を求めると， \[ \frac{1}{\lambda_{21}}+\frac{1}{\lambda_{12}} =\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2} =0 \] であるから， \begin{equation} \frac{1}{\lambda_{21}}+\frac{1}{\lambda_{12}}=0 \tag{1} \end{equation}

3項の関係

インデックス1，2（1行目）とインデックス1，3（2行目）に対して次の等式が成り立つ。 \begin{gather*} \frac{1}{\lambda_{21}}+\frac{1}{\lambda_{12}}=0\\ \frac{1}{\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{13}}=0 \end{gather*} 1行目から2行目を引くと， \begin{align*} \left(\frac{1}{\lambda_{21}}-\frac{1}{\lambda_{31}}\right)+\frac{1}{\lambda_{12}}-\frac{1}{\lambda_{13}}=0\\ \frac{\lambda_{32}}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{\lambda_{32}}{\lambda_{12}\lambda_{32}}-\frac{\lambda_{23}}{\lambda_{13}\lambda_{23}}=0\\ \lambda_{32}\left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}\right)=0 \end{align*} したがって， \begin{equation} \frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}=0 \tag{2} \end{equation}

4項の関係

インデックス1，2，3（1行目）とインデックス1，2，4（2行目）に対して次の等式が成り立つ。 \begin{gather*} \frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}=0\\ \frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{41}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{42}}+\frac{1}{\lambda_{14}\lambda_{24}}=0 \end{gather*} 1行目から2行目を引くと， \begin{align*} \frac{1}{\lambda_{21}}\left(\frac{1}{\lambda_{31}}-\frac{1}{\lambda_{41}}\right)+\frac{1}{\lambda_{12}}\left(\frac{1}{\lambda_{32}}-\frac{1}{\lambda_{42}}\right)+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}-\frac{1}{\lambda_{14}\lambda_{24}}=0\\ \frac{\lambda_{43}}{\lambda_{21}\lambda_{31}\lambda_{41}}+\frac{\lambda_{43}}{\lambda_{12}\lambda_{32}\lambda_{42}}+\frac{\lambda_{43}}{\lambda_{13}\lambda_{23}\lambda_{43}}-\frac{\lambda_{34}}{\lambda_{14}\lambda_{24}\lambda_{34}}=0\\ \lambda_{43}\left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}\lambda_{41}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}\lambda_{42}}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}\lambda_{43}}+\frac{1}{\lambda_{14}\lambda_{24}\lambda_{34}}\right)=0 \end{align*} したがって， \begin{equation} \frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}\lambda_{41}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}\lambda_{42}}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}\lambda_{43}}+\frac{1}{\lambda_{14}\lambda_{24}\lambda_{34}}=0 \tag{3} \end{equation}

n項の関係

これを繰り返すと，次のn項の関係を導くことができる。 ただし，分母に (λ_i−λ_i) は含まない。 \[ \sum_{i=1}^n \frac{1}{(\lambda_1-\lambda_i)\cdots (\lambda_n-\lambda_i)}=0 \tag{4} \]

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5. 孫娘核種の壊変

1. 親核種
2. 微分方程式
3. 娘核種
4. 積分定数
5. 孫娘核種

孫娘核種の壊変

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種，壊変定数 λ₃ をもつ孫娘核種の変化を微分方程式を利用して求める。 ただし，どの核種も放射性で，壊変定数はすべて異なるとする。 時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t)，孫娘核種を N₃=N₃(t) とし，初期値を N₁(0)=N₀，N₂(0)=N₃(0)=0 とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_0\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=0\\ &\dfrac{dN_3}{dt}=\lambda_2 N_2-\lambda_3 N_3 &&N_3(0)=0 \end{align*} 親核種 N₁ と娘核種 N₂ はすでに求めた。 放射性壊変のための微分方程式を用いると，孫娘核種 N₃ が求められる。 \begin{align*} N_3 &=e^{-\lambda_3 t} \int_0^t \lambda_2 N_2 e^{\lambda_3 t}\,dt\\ &=e^{-\lambda_3 t} \int_0^t \lambda_2 \lambda_1 N_0 \left(\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1 t}+\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_2 t}\right)e^{\lambda_3 t}\,dt\\ &=\lambda_1 \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_3 t} \int_0^t \left(\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{(\lambda_3-\lambda_1)t}+\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{(\lambda_3-\lambda_2)t}\right)\,dt \end{align*} 簡単のため，λ_ij=λ_i−λ_j と表すと， \begin{align*} N_3 &=\lambda_1 \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_3 t} \int_0^t \left(\frac{1}{\lambda_{21}}e^{\lambda_{31}t}+\frac{1}{\lambda_{12}}e^{\lambda_{32}t}\right)\,dt\\ &=\lambda_1 \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_3 t} \left[\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}e^{\lambda_{31}t}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{\lambda_{32}t}\right]_0^t\\ &=\lambda_1 \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_3 t} \left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}e^{\lambda_{31}t}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{\lambda_{32}t}-\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}-\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}\right) \end{align*} 積分定数の求め方を用いると，最後の2項は次のようにまとめることができる。 \[ -\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}-\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}=\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}} \] よって，N₃ が得られる。 \begin{align*} N_3=\lambda_1 \lambda_2 N_0 \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_1)}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_2)}+\frac{e^{-\lambda_3 t}}{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_3)}\right) \end{align*}

第n核種の壊変

系列の起点となる親核種を N₁，その子孫の核種からなる系列を，N₂，N₃，… とする。 第k核種は壊変定数 λ_k をもち，時刻 t≥0 における核種数を N_k=N_k(t) とする（k=1,2,…,n）。 ただし，どの核種も放射性で，壊変定数はすべて異なるとする。 初期値は N₁(0)=N₀，N₂(0)=…=N_n(0)=0 とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_0\\ &\dfrac{dN_k}{dt}=\lambda_{k-1} N_{k-1}-\lambda_k N_k &&N_k(0)=0 &&(2\le k\le n) \end{align*} これを解くと，第n核種 N_n は次のようになる。 ただし，分母に (λ_i−λ_i) は含まない。 \[ N_n=\lambda_1 \cdots \lambda_{n-1} N_0 \sum_{i=1}^n \frac{1}{(\lambda_1-\lambda_i)\cdots (\lambda_n-\lambda_i)} e^{-\lambda_i t} \]

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