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1. 半減期
2. 生物学的半減期
3. 内部被曝
4. 継続摂取
放射性核種は確率的に壊変し，一定の割合で減少していく。 核種がもとの量の半分に減少するまでに期間のことを半減期（half-life）といい，T または T1/2 と表す。 時刻 t≥0 における核種数を N=N(t) とし，初期値を N(0)=N0 とする。 初期値と比較すると，t=T のとき (1/2) 倍，t=2T のとき (1/2)2 倍，t=3T のとき (1/2)3 倍というように，徐々に減少していく。 \[ N(T)=N_0\cdot \frac{1}{2},\quad N(2T)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^2,\quad N(3T)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^3,\quad \cdots \] t=kT のとき N=N0(1/2)k であるから， \[ t=kT,\quad k=\frac{t}{T}\implies N(t)=N(kT)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^k =N_0\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T} \] 一般に次のように表せる。 \[ N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \tag{1} \]
半減期 T に対して，次の変換式で定義される λ のことを壊変定数（decay constant）という。 \[ \lambda =\frac{\ln 2}{T},\qquad T=\frac{\ln 2}{\lambda}\qquad (\ln 2=0.693) \tag{2} \] 核種数 N を半減期 T で表した式に対して，対数をとると， \begin{gather*} \frac{N}{N_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T}\\ \ln \frac{N}{N_0}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T}=-\frac{t}{T}\ln 2=-\lambda t\\ \frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t} \end{gather*} となるから，N を壊変定数 λ で表すこともできる。 \[ N=N_0 e^{-\lambda t} \tag{3} \]
上の式を微分すると，次の法則が成り立つ。 \[ \frac{dN}{dt}=-\lambda N_0 e^{-\lambda t}=-\lambda N \tag{4} \] ある時刻において，単位時間あたりに壊変する核種数のことを放射能または壊変率（radioactivity）という。 時間の単位が [s] のとき，放射能の単位は [Bq] または [dps] である。 壊変定数を λ，時刻 t≥0 における核種数を N=N(t)，放射能を A=A(t) とすると， \[ A=\lambda N \tag{5} \] である。
平均寿命とは，各々の核種の寿命（壊変するまでの期間）の総和を，初期の核種数で割った値のことで，τ と表す。 核種 N の寿命を t=t(N) とする。 \[ \tau =\frac{1}{N_0}\int_0^{N_0} t\,dN \] N についての積分は，t についての積分に置き換えてもよい。 \[ \tau =\frac{1}{N_0}\int_0^\infty N\,dt =\frac{1}{N_0}\int_0^\infty N_0 e^{-\lambda t}\,dt =\left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty =\frac{1}{\lambda} \] 平均寿命 τ は壊変定数 λ の逆数になる。 \[ \tau =\frac{1}{\lambda}=\frac{T}{\ln 2}=1.44T \tag{6} \] 半減期 T はもとの量の半分になるまでの期間，平均寿命 τ はもとの量の 1/e になるまでの期間である。 \[ t=T\implies N=\frac{N_0}{2},\qquad t=\tau \implies N=\frac{N_0}{e} \]
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体内に取り入れられた放射性核種は，壊変によって減少するだけでなく，体外に排出されることによっても減少していく。 体内の放射性核種は両方の作用によって減少するため，壊変のみ，あるいは排出のみの場合よりも速く減少することになる。
まだ壊変していないことを生存とよぶことにする。 体外に排出されたかどうかにかかわらず，時刻 t≥0 における生存核種を Np=Np(t)，初期値を Np(0)=N0 とし， 壊変のみによる核種の半減期（物理学的半減期）を Tp，壊変定数を λp とする。 \[ N_p=N_0 e^{-\lambda_p t},\qquad \frac{d}{dt}N_p=-\lambda_p N_p,\qquad T_p=\frac{\ln 2}{\lambda_p} \tag{1} \]
Np(t) の導関数は微小時間 Δt に対して近似的に \[ \frac{N_p(t+\varDelta t)-N_p(t)}{\varDelta t}\approx \frac{d}{dt}N_p(t)=-\lambda_p N_p(t) \] が成り立つから，次のように変形できる。 \[ \frac{N_p(t+\varDelta t)}{N_p(t)}\approx 1-\lambda_p \varDelta t \] これは，時刻 t に生存していた核種 Np(t) のうち，その後 Δt の時間を経ても生存している核種 Np(t+Δt) の割合であるから，微小時間 Δt の間に壊変しない確率を表している。 微小時間 Δt の間に壊変する事象を A，壊変しない事象を A∁ とすると，それらの事象の確率は次のように表せる。 \[ P(A)\approx \lambda_p \varDelta t,\qquad P(A^\complement)\approx 1-\lambda_p \varDelta t \]
まだ体外に排出されていないことを残留とよぶことにする。 壊変したかどうかにかかわらず，時刻 t≥0 における残留核種を Nb=Nb(t)，初期値を Nb(0)=N0 とし， 排出のみによる核種の半減期（生物学的半減期）を Tb，排出の速度定数（壊変定数に相当）を λb とする。 \[ N_b=N_0 e^{-\lambda_b t},\qquad \frac{d}{dt}N_b=-\lambda_b N_b,\qquad T_b=\frac{\ln 2}{\lambda_b} \tag{2} \] ただし，核種が壊変すると他の元素に変化するため，壊変後の Tb や λb の値は保証されないことに注意する。
壊変の場合と同様にして排出の確率を求めることができる。 微小時間 Δt の間に排出される事象を B，排出されない事象を B∁ とすると，それらの事象の確率は次のように表せる。 \[ P(B)\approx \lambda_b \varDelta t,\qquad P(B^\complement)\approx 1-\lambda_b \varDelta t \]
核種の壊変と排出は独立に起こると考えられるので，各事象の確率は次の分布表で与えられる。
| 壊変 A | 生存 A∁ | 計 | |
| 排出 B | \(\lambda_p\varDelta t\times \lambda_b\varDelta t\) | \((1-\lambda_p\varDelta t)\times \lambda_b\varDelta t\) | \(\lambda_b\varDelta t\) |
| 残留 B∁ | \(\lambda_p\varDelta t\times (1-\lambda_b\varDelta t)\) | \((1-\lambda_p\varDelta t)\times (1-\lambda_b\varDelta t)\) | \(1-\lambda_b\varDelta t\) |
| 計 | \(\lambda_p\varDelta t\) | \(1-\lambda_p\varDelta t\) | \(1\) |
時刻 t≥0 において壊変もせず排出もされない核種を N=N(t)，初期値を N(0)=N0 とする。 微小時間 Δt の間に壊変も排出もしない確率は (1−λpΔt)(1−λbΔt) であるから， \[ N(t+\varDelta t)\approx (1-\lambda_p\varDelta t)(1-\lambda_b\varDelta t)\times N(t) \] が成り立つ。次のように変形する。 \[ \frac{N(t+\varDelta t)-N(t)}{\varDelta t}\approx (-\lambda_p -\lambda_b +\lambda_p \lambda_b\varDelta t)N(t) \] 微小時間 Δt についての極限をとって次の結果が得られる。 壊変と排出の両方の作用による速度定数（実効壊変定数）は，λe=λp+λb になる。 \[ \frac{d}{dt}N=-(\lambda_p +\lambda_b)N \tag{3} \] 壊変と排出の両方の作用により，核種がもとの量の半分に減少するまでの期間のことを実効半減期または有効半減期といい，Te と表す。 半減期と壊変定数の関係式を用いると， \[ \frac{\ln 2}{T_e}=\lambda_e=\lambda_p+\lambda_b=\frac{\ln 2}{T_p}+\frac{\ln 2}{T_b} \] であるから，実効半減期 Te の逆数は，物理学的半減期 Tp の逆数と生物学的半減期 Tb の逆数の和になる。 \[ \lambda_e=\lambda_p+\lambda_b,\qquad \frac{1}{T_e}=\frac{1}{T_p}+\frac{1}{T_b} \tag{4} \]
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核種の壊変と排出は独立に起こると考えられるので，各事象の確率は次の分布表で与えられる。
| 壊変 A | 生存 A∁ | 計 | |
| 排出 B | \(\lambda_p\varDelta t\times \lambda_b\varDelta t\) | \((1-\lambda_p\varDelta t)\times \lambda_b\varDelta t\) | \(\lambda_b\varDelta t\) |
| 残留 B∁ | \(\lambda_p\varDelta t\times (1-\lambda_b\varDelta t)\) | \((1-\lambda_p\varDelta t)\times (1-\lambda_b\varDelta t)\) | \(1-\lambda_b\varDelta t\) |
| 計 | \(\lambda_p\varDelta t\) | \(1-\lambda_p\varDelta t\) | \(1\) |
微小時間 Δt の間に排出が起こらず，壊変のみ起こる（A∩B∁）場合は，体内で壊変して内部被曝する。 微小時間 Δt の間に壊変のみが起こる核種は \[ \lambda_p \varDelta t(1-\lambda_b \varDelta t)\times N(t) \] であるから，これの極限をとると，単位時間あたりの壊変のみによる変化率は \[ \frac{\lambda_p \varDelta t(1-\lambda_b \varDelta t)}{\varDelta t}N(t)\approx \lambda_p N(t) \tag{1} \]
微小時間 Δt の間に壊変が起こらず，排出のみ起こる（A∁∩B）場合は，被曝しない。 微小時間 Δt の間に排出のみが起こる核種は \[ (1-\lambda_p \varDelta t)\lambda_b \varDelta t\times N(t) \] であるから，これの極限をとると，単位時間あたりの排出のみによる変化率は \[ \frac{(1-\lambda_p \varDelta t)\lambda_b \varDelta t}{\varDelta t}N(t)\approx \lambda_b N(t) \tag{2} \]
微小時間 Δt の間に壊変と排出がともに起こる（A∩B）場合は，被曝するかしないかを判断できないが，微小な値になるため無視できる。 微小時間 Δt の間に壊変と排出がともに起こる核種は \[ \lambda_p \varDelta t\,\lambda_b \varDelta t\times N(t) \] であるから，これの極限をとると，単位時間あたりの壊変と排出がともに起こることによる核種の変化率は \[ \frac{\lambda_p \varDelta t\,\lambda_b \varDelta t}{\varDelta t}N(t)\approx 0 \]
壊変による物理学的半減期を Tp，壊変定数を λpとし，排出による生物学的半減期を Tb，排出の速度定数（壊変定数に相当）を λb とする。 時刻 t≥0 において壊変もせず排出もされない核種を N=N(t) とすると，N の変化率は次のように表せる。 \[ \frac{dN}{dt}=-(\lambda_p+\lambda_b)N=-\lambda_p N-\lambda_b N \tag{3} \] 上の結果から，第1項 −λpN は壊変による変化，第2項 −λbN は排出による変化を表し， 第1項は内部被曝をもたらす部分である。
核種の変化のうち，内部被曝をもたらす部分の割合は，時刻にかかわらず常に \[ \frac{\lambda_p}{\lambda_p+\lambda_b}=\frac{T_b}{T_p+T_b} \tag{4} \] である。 体内に存在した核種の初期値が N0 のとき，十分に長い時間が経過して体内のすべての核種がなくなると，内部被曝の総量は \[ \frac{\lambda_p}{\lambda_p+\lambda_b}N_0=\frac{T_b}{T_p+T_b}N_0 \] となる。もし，物理学的半減期が生物学的半減期に比較して極めて短い（λp≫λbまたはTp≪Tb）ならば，初期値 N0 のほぼ全量が内部被曝につながる。 \[ \lambda_p \gg \lambda_b,\quad T_p \ll T_b\implies \frac{\lambda_p}{\lambda_p+\lambda_b}N_0=\frac{T_b}{T_p+T_b}N_0\approx N_0 \]
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放射性物質は，食事や呼吸によって，あるいは皮膚や傷口から侵入したり，医療行為によって体内に取り入れられたりする。
ここでは継続的に体内に取り入れた放射性核種から受ける被曝量を求める。
核種の物理学的半減期を Tp，生物学的半減期を Tb，実効半減期を T とし，
単位時間あたり一定量 D の核種を継続的に体内に取り入れるとき，時刻 t≥0 における体内の核種を N=N(t)，初期値を N(0)=N0 とする。
\[
\frac{dN}{dt}=-\lambda N+D,\qquad N(0)=N_0
\tag{1}
\]
放射性壊変のための微分方程式
を用いると，
\begin{align*}
N &=N_0 e^{-\lambda t}+e^{-\lambda t} \int_0^t De^{\lambda t}\,dt\\
&=N_0 e^{-\lambda t}+De^{-\lambda t} \left[\frac{1}{\lambda}e^{\lambda t}\right]_0^t\\
&=N_0 e^{-\lambda t}+\frac{D}{\lambda}e^{-\lambda t} (e^{\lambda t}-1)
\end{align*}
よって，次の結果が得られる。
\[
N=N_0 e^{-\lambda t} +\frac{D}{\lambda}(1-e^{-\lambda t})
\tag{2}
\]
十分に長い時間が経過すると e−λt は0に収束して平衡が成立する。
平衡時の体内の核種は D/λ または Dτ である（τは平均寿命）。
\[
t\gg 0\implies N\approx \frac{D}{\lambda}=D\tau
\tag{3}
\]
平衡が成立すると，単位時間あたり体内に取り入れる量 D と，壊変量と排出量の和 λN が釣り合う。 \[ D\approx \lambda N \] これに内部被曝の比率（壊変量の比率）を掛けると，体内に取り入れた放射性核種から受ける単位時間あたりの被曝量を求めることができる。 \[ \frac{\lambda_p}{\lambda_p+\lambda_b}D=\frac{T_b}{T_p+T_b}D \]
最後のページです
2013.1.5 作成 / 2020.2.16 更新
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