放射平衡

1. 逐次壊変（初期値が0でない場合）

1. 逐次壊変
2. 過渡平衡
3. 極大時刻
4. 永続平衡
5. 系列の平衡

初期値が0の系列

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種，壊変定数 λ₃ をもつ孫娘核種の変化を求める。ただし，すべての核種は放射性で，壊変定数は互いに異なるとする。時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t)，孫娘核種を N₃=N₃(t) とし，初期値は系列の起点となる親核種のみ N₁(0)=N₁₀ で，その他の核種は N₂(0)=N₃(0)=0 とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_{10}\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=0\\ &\dfrac{dN_3}{dt}=\lambda_2 N_2-\lambda_3 N_3 &&N_3(0)=0 \end{align*} これを解くと，親核種 N₁ は， \[ N_1=N_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 娘核種の壊変より，娘核種 N₂ は， \[ N_2=\lambda_1 N_{10} \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_2-\lambda_1}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_1-\lambda_2}\right) \] 簡単のため λ_ij=λ_i−λ_j とすると，孫娘核種の壊変より，孫娘核種 N₃ は， \[ N_3=\lambda_1 \lambda_2 N_{10} \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_{12}\lambda_{32}}+\frac{e^{-\lambda_3 t}}{\lambda_{13}\lambda_{23}}\right) \] となる。

初期値が0でない系列

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種，壊変定数 λ₃ をもつ孫娘核種の変化を求める。ただし，すべての核種は放射性で，壊変定数は互いに異なるとする。時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t)，孫娘核種を N₃=N₃(t) とし，初期値は N₁(0)=N₁₀，N₂(0)=N₂₀，N₃(0)=N₃₀ とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_{10}\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=N_{20}\\ &\dfrac{dN_3}{dt}=\lambda_2 N_2-\lambda_3 N_3 &&N_3(0)=N_{30} \end{align*} 時刻 t=0 に各々の核種を分離して，別の容器に移し替えたと仮定すると，親核種 N₁ を入れた容器の初期値は N₁(0)=N₁₀，N₂(0)=N₃(0)=0，娘核種 N₂ を入れた容器の初期値は N₂(0)=N₂₀，N₃(0)=0，孫娘核種 N₃ を入れた容器の初期値は N₃(0)=N₃₀ である。容器ごとに観察すれば，系列の起点を除く核種の初期値がすべて0になっているから，上の式によって核種量を求めることができる。そして容器ごとの核種量の総和を求めればよい。この方法を用いると，親核種 N₁ は， \[ N_1=N_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 娘核種 N₂ は， \[ N_2=\lambda_1 N_{10} \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_2-\lambda_1}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_1-\lambda_2}\right) +N_{20} e^{-\lambda_2 t} \] 簡単のため λ_ij=λ_i−λ_j とすると，孫娘核種 N₃ は， \begin{align*} N_3=\lambda_1 \lambda_2 N_{10} \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_{12}\lambda_{32}}+\frac{e^{-\lambda_3 t}}{\lambda_{13}\lambda_{23}}\right)\\ +\lambda_2 N_{20} \left(\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_{32}}+\frac{e^{-\lambda_3 t}}{\lambda_{23}}\right) +N_{30} e^{-\lambda_3 t} \end{align*} となる。

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2. 過渡平衡

1. 逐次壊変
2. 過渡平衡
3. 極大時刻
4. 永続平衡
5. 系列の平衡

過渡平衡の核種量

核種量

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種の変化を調べる。両核種とも放射性で，壊変定数は互いに異なるとする。時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t) とし，初期値を N₁(0)=N₁₀，N₂(0)=N₂₀ とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_{10}\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=N_{20} \end{align*} これを解くと，親核種 N₁ は， \[ N_1=N_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 娘核種 N₂ は， \begin{align*} N_2 &=\lambda_1 N_{10} \left(\frac{e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_2-\lambda_1}+\frac{e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_1-\lambda_2}\right) +N_{20} e^{-\lambda_2 t}\\ N_2 &=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_{10} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) +N_{20} e^{-\lambda_2 t} \end{align*} となる。

過渡平衡の核種量

核種量の比 N₂/N₁ を求める。 \[ \frac{N_2}{N_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t})+\frac{N_{20}}{N_{10}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t} \] 親核種の半減期が娘核種の半減期より長いとき（λ₁<λ₂またはT₁>T₂），十分に長い期間が経過すると，e^{−(λ₂−λ₁)t} が0に収束して，N₁とN₂の比がほぼ一定になる。 \[ \lambda_1<\lambda_2,\quad t\gg 0 \implies \frac{N_2}{N_1}\approx \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}=\frac{T_2}{T_1-T_2} \] この状態を過渡平衡という。過渡平衡が成立すると，娘核種 N₂ は親核種の壊変定数 λ₁ に従って推移するようになる。 \[ N_2\approx \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_{10}e^{-\lambda_1 t} \] 核種の比は次のようになる。 \[ N_1:N_2\approx (\lambda_2-\lambda_1):\lambda_1=(T_1-T_2):T_2 \tag{1} \]

過渡平衡の放射能

放射能

時刻 t≥0 における親核種の放射能を A₁=A₁(t)，娘核種の放射能を A₂=A₂(t) とし，初期値を A₁(0)=A₁₀，A₂(0)=A₂₀ とする。 \begin{align*} &A_1=\lambda_1 N_1 &&A_{10}=\lambda_1 N_{10}\\ &A_2=\lambda_2 N_2 &&A_{20}=\lambda_2 N_{20} \end{align*} N₁，N₂ はすでに求めたから，親核種の放射能 A₁ は， \[ A_1=\lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t}=A_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 娘核種の放射能 A₂ は， \begin{align*} A_2 &=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} N_{10} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) +\lambda_2 N_{20} e^{-\lambda_2 t}\\ A_2 &=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} A_{10} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) +A_{20} e^{-\lambda_2 t} \end{align*} となる。

過渡平衡の放射能

放射能の比 A₂/A₁ を求める。 \[ \frac{A_2}{A_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t})+\frac{A_{20}}{A_{10}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t} \] 親核種の半減期が娘核種の半減期より長いとき（λ₁<λ₂またはT₁>T₂），十分に長い期間が経過すると，過渡平衡が成立して，A₁とA₂の比がほぼ一定になる。 \[ \lambda_1<\lambda_2,\quad t\gg 0 \implies \frac{A_2}{A_1}\approx \frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=\frac{T_1}{T_1-T_2}>1 \] 過渡平衡では，親核種の放射能よりも娘核種の放射能のほうが強い（A₁<A₂）。放射能の比は次のようになる。 \[ A_1:A_2\approx (\lambda_2-\lambda_1):\lambda_2=(T_1-T_2):T_1 \tag{2} \]

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3. 娘核種の極大時刻

1. 逐次壊変
2. 過渡平衡
3. 極大時刻
4. 永続平衡
5. 系列の平衡

娘核種が極大になる時刻

壊変定数 λ₁ をもつ親核種 N₁，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種 N₂ は，過渡平衡の条件（λ₁<λ₂）を満たすとする。初期値が N₁(0)=N₀，N₂(0)=0 のとき，娘核種が極大になる時刻を求める。 \begin{align*} &\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_0\\ &\frac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=0 \end{align*} N₂ が極大になるとき，dN₂/dt=λ₁N₁−λ₂N₂=0 より，λ₁N₁=λ₂N₂ が成り立つ。 \begin{align*} \lambda_1 N_1 &=\lambda_2 N_2\\ \lambda_1 N_0 e^{-\lambda_1 t} &=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} N_0 (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t})\\ \frac{\lambda_1^2}{\lambda_2-\lambda_1} N_0 e^{-\lambda_1 t} &=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} N_0 e^{-\lambda_2 t}\\ \lambda_1 e^{-\lambda_1 t} &=\lambda_2 e^{-\lambda_2 t} \end{align*} 両辺の対数をとると， \[ -\lambda_1 t+\ln \lambda_1=-\lambda_2 t+\ln \lambda_2 \] となるから，娘核種が極大となる時刻 t は次のように表せる。 \[ t=\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\ln \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \]

平衡成立にかかる時間

娘核種が増加している間は平衡の状態にあるとはいえない。平衡成立は，少なくとも極大時刻 t 以降になる。極大時刻 t を次のように変形し， \[ t=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\frac{1}{\lambda_1}\ln \frac{\lambda_2}{\lambda_1} =\frac{T_2}{T_1-T_2}\frac{T_1}{\ln 2}\ln \frac{T_1}{T_2} \] k=λ₂/λ₁=T₁/T₂ で置き換える。 \[ t=\frac{1}{k-1}\frac{T_1}{\ln 2}\ln k=\frac{\log_2 k}{k-1}T_1 \] 親核種と娘核種の半減期に2倍以上の違いがあれば（λ₂>2λ₁またはT₁>2T₂），親核種の半減期程度の時間が経過すれば平衡に到達すると考えられる。 \[ T_1>2T_2 \implies t<T_1 \] 反対に，親核種と娘核種の半減期に大きな違いがない場合は平衡に到達するまでに時間がかかる。

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4. 永続平衡

1. 逐次壊変
2. 過渡平衡
3. 極大時刻
4. 永続平衡
5. 系列の平衡

永続平衡の核種量

核種量

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種の変化を調べる。両核種とも放射性で，壊変定数は互いに異なるとする。時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t) とし，初期値を N₁(0)=N₁₀，N₂(0)=N₂₀ とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_{10}\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=N_{20} \end{align*} これを解くと，親核種 N₁ は， \[ N_1=N_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 娘核種 N₂ は， \[ N_2=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_{10} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) +N_{20} e^{-\lambda_2 t} \] となる。

永続平衡の核種量

核種量の比 N₂/N₁ を求める。 \[ \frac{N_2}{N_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t})+\frac{N_{20}}{N_{10}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t} \] 親核種の半減期が娘核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T₂かつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，N₁とN₂の比がほぼ一定になる。 \[ T_1\gg T_2,\quad T_1\gg 0,\quad t\gg 0 \implies \frac{N_2}{N_1}\approx \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{T_2}{T_1} \] この状態を永続平衡という。永続平衡が成立すると，親核種や娘核種の量はほとんど変化しなくなる。核種の比は次のようになる。 \[ N_1:N_2\approx \lambda_2:\lambda_1=T_1:T_2 \tag{1} \]

永続平衡の放射能

放射能

永続平衡の放射能

放射能の比 A₂/A₁ を求める。 \[ \frac{A_2}{A_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t})+\frac{A_{20}}{A_{10}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t} \] 親核種の半減期が娘核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T₂かつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，永続平衡が成立して，A₁とA₂がほぼ等しくなる。 \[ T_1\gg T_2,\quad T_1\gg 0,\quad t\gg 0 \implies \frac{A_2}{A_1}\approx 1 \] 永続平衡では，放射能の比は次のようになる。 \[ A_1\approx A_2 \tag{2} \]

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5. 系列の永続平衡

1. 逐次壊変
2. 過渡平衡
3. 極大時刻
4. 永続平衡
5. 系列の平衡

孫娘核種の核種量

核種量

壊変定数 λ₁ をもつ親核種，壊変定数 λ₂ をもつ娘核種，壊変定数 λ₃ をもつ孫娘核種の変化を調べる。どの核種も放射性で，壊変定数は互いに異なるとする。時刻 t≥0 における親核種を N₁=N₁(t)，娘核種を N₂=N₂(t)，孫娘核種を N₃=N₃(t) とし，初期値を N₁(0)=N₁₀，N₂(0)=N₂₀，N₃(0)=N₃₀ とする。 \begin{align*} &\dfrac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1 &&N_1(0)=N_{10}\\ &\dfrac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 &&N_2(0)=N_{20}\\ &\dfrac{dN_3}{dt}=\lambda_2 N_2-\lambda_3 N_3 &&N_3(0)=N_{30} \end{align*} これを解くと，親核種 N₁ は， \[ N_1=N_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 簡単のため λ_ij=λ_i−λ_j とすると，孫娘核種 N₃ は， \begin{align*} N_3=\lambda_1 \lambda_2 N_{10} \left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}e^{-\lambda_1 t}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{-\lambda_2 t}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}e^{-\lambda_3 t}\right)\\ +\lambda_2 N_{20} \left(\frac{1}{\lambda_{32}}e^{-\lambda_2 t}+\frac{1}{\lambda_{23}}e^{-\lambda_3 t}\right) +N_{30} e^{-\lambda_3 t} \end{align*} となる。

過渡平衡・永続平衡の核種量

核種量の比 N₃/N₁ を求める。 \begin{align*} \frac{N_3}{N_1}=\lambda_1 \lambda_2 \left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t}\right)\\ +\lambda_2 \frac{N_{20}}{N_{10}} \left(\frac{1}{\lambda_{32}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}+\frac{1}{\lambda_{23}}e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t}\right) +\frac{N_{30}}{N_{10}}e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t} \end{align*} 親核種の半減期が娘核種と孫娘核種の半減期より長いとき（T₁>T₂かつT₁>T₃），十分に長い期間が経過すると，過渡平衡になる。 \[ T_1>T_2,\quad T_1>T_3 \implies \frac{N_3}{N_1}\approx \frac{\lambda_1 \lambda_2}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_1)}=\frac{T_1 T_3}{(T_1-T_2)(T_1-T_3)} \] 親核種の半減期が娘核種と孫娘核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T₂かつT₁≫T₃かつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，永続平衡になる。 \[ T_1\gg T_2,\quad T_1\gg T_３,\quad T_1\gg 0 \implies \frac{N_３}{N_1}\approx \frac{\lambda_1}{\lambda_3}=\frac{T_3}{T_1} \tag{1} \]

永続平衡にある系列の核種量

同一の系列に属する核種 N₁，N₂，…，N_n はすべて放射性で，各々の半減期 T₁，T₂，…，T_n はすべて異なるとする。親核種の半減期が子孫の核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T_kかつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，永続平衡になる。 \[ \frac{N_1}{T_1}\approx \frac{N_2}{T_2}\approx \cdots \approx \frac{N_n}{T_n} \tag{2} \]

孫娘核種の放射能

放射能

時刻 t≥0 における親核種の放射能を A₁=A₁(t)，娘核種の放射能を A₂=A₂(t)，孫娘核種の放射能を A₃=A₃(t) とし，初期値を A₁(0)=A₁₀，A₂(0)=A₂₀，A₃(0)=A₃₀ とする。 \begin{align*} &A_1=\lambda_1 N_1 &&A_{10}=\lambda_1 N_{10}\\ &A_2=\lambda_2 N_2 &&A_{20}=\lambda_2 N_{20}\\ &A_3=\lambda_3 N_3 &&A_{30}=\lambda_3 N_{30} \end{align*} 親核種の放射能 A₁ は， \[ A_1=A_{10} e^{-\lambda_1 t} \] 簡単のため λ_ij=λ_i−λ_j とすると，孫娘核種の放射能 A_３は， \begin{align*} A_3=\lambda_2 \lambda_3 A_{10} \left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}e^{-\lambda_1 t}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{-\lambda_2 t}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}e^{-\lambda_3 t}\right)\\ +\lambda_3 A_{20} \left(\frac{1}{\lambda_{32}}e^{-\lambda_2 t}+\frac{1}{\lambda_{23}}e^{-\lambda_3 t}\right) +A_{30} e^{-\lambda_3 t} \end{align*} となる。

過渡平衡・永続平衡の放射能

放射能の比 A₃/A₁ を求める。 \begin{align*} \frac{A_3}{A_1}=\lambda_2 \lambda_3 \left(\frac{1}{\lambda_{21}\lambda_{31}}+\frac{1}{\lambda_{12}\lambda_{32}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}+\frac{1}{\lambda_{13}\lambda_{23}}e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t}\right)\\ +\lambda_3 \frac{A_{20}}{A_{10}} \left(\frac{1}{\lambda_{32}}e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}+\frac{1}{\lambda_{23}}e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t}\right) +\frac{A_{30}}{A_{10}} e^{-(\lambda_3-\lambda_1)t} \end{align*} 親核種の半減期が娘核種と孫娘核種の半減期より長いとき（T₁>T₂かつT₁>T₃），十分に長い期間が経過すると，過渡平衡になる。 \[ T_1>T_2,\quad T_1>T_3 \implies \frac{A_3}{A_1}\approx \frac{\lambda_2 \lambda_3}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_1)}=\frac{T_1^2}{(T_1-T_2)(T_1-T_3)} \] 親核種の半減期が娘核種と孫娘核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T₂かつT₁≫T₃かつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，永続平衡になる。 \[ T_1\gg T_2,\quad T_1\gg T_３,\quad T_1\gg 0 \implies \frac{A_３}{A_1}\approx 1 \tag{3} \]

永続平衡にある系列の放射能

同一の系列に属する核種 N₁，N₂，…，N_n はすべて放射性で，各々の半減期 T₁，T₂，…，T_n はすべて異なるとする。親核種の半減期が子孫の核種の半減期に比べて非常に長く，親核種の半減期が十分に長いとき（T₁≫T_kかつT₁≫0），十分に長い期間が経過すると，永続平衡になる。 \[ A_1\approx A_2\approx \cdots \approx A_n \tag{4} \]

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2013.1.5 作成 / 2020.2.17 更新