1. 2倍角・3倍角等の公式
2. 倍角公式の次数
3. 倍角公式
角α，角βに対して余弦と正弦の加法定理が成り立つ。 \begin{align} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta \end{align} 正接の加法定理も成り立つ。 \begin{align} & \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} & & \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta} \end{align}
α = β = θ とおいて加法定理を用いると余弦の2倍角の公式が得られる。 \begin{align} \cos 2 \theta &= \cos (\theta+\theta) \\ &= \cos\theta \cos\theta-\sin\theta \sin\theta \\ &= \cos^2 \theta-\sin^2 \theta \end{align} cos θ の偶数乗あるいは sin θ の偶数乗の形で表すこともできる。 \begin{align} \cos 2 \theta &= 2 \cos^2 \theta-1 & \cos 2 \theta &= 1-2 \sin^2 \theta \end{align} 正弦の2倍角の公式も同様である。 \begin{align} \sin 2 \theta &= \sin (\theta+\theta) \\ &= \sin\theta \cos\theta+\cos\theta \sin\theta \\ &= 2 \cos\theta \sin\theta \end{align} 正弦の2倍角の公式は cos θ と sin θ の両方を用いて表される。
α = θ，β = 2θ とおいて加法定理を用いると余弦の3倍角の公式が得られる。 \begin{align} \cos 3 \theta &= \cos (\theta+2 \theta) \\ &= \cos\theta \cos 2 \theta-\sin\theta \sin 2 \theta \\ &= \cos\theta \times (\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)-\sin\theta \times 2 \cos\theta \sin\theta \\ &= \cos^3 \theta-3 \cos\theta \sin^2 \theta \end{align} cos θ の奇数乗，あるいは sin θ の偶数乗と cos θ の積の形で表すこともできる。 \begin{align} \cos 3 \theta &= \cos\theta (4 \cos^2 \theta-3) & \cos 3 \theta &= \cos\theta (1-4 \sin^2 \theta) \end{align} 正弦の3倍角の公式も同様である。 \begin{align} \sin 3 \theta &= \sin (\theta+2 \theta) \\ &= \sin\theta \cos 2 \theta+\cos\theta \sin 2 \theta \\ &= \sin\theta \times (\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)+\cos\theta \times 2 \cos\theta \sin\theta \\ &= 3 \cos^2 \theta \sin\theta-\sin^3 \theta \end{align} cos θ の偶数乗と sin θ の積，あるいは sin θ の奇数乗の形で表すこともできる。 \begin{align} \sin 3 \theta &= \sin\theta (4 \cos^2 \theta-1) & \sin 3 \theta &= \sin\theta (3-4 \sin^2 \theta) \end{align}
α = θ，β = 3θ とおいて加法定理を用いると余弦の4倍角の公式が得られる。 \begin{align} \cos 4 \theta &= \cos (\theta+3 \theta) \\ &= \cos\theta \cos 3 \theta-\sin\theta \sin 3 \theta \\ &= \cos\theta \times (\cos^3 \theta-3 \cos\theta \sin^2 \theta)-\sin\theta \times (3 \cos^2 \theta \sin\theta-\sin^3 \theta) \\ &= \cos^4 \theta-6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta+\sin^4 \theta \end{align} cos θ の偶数乗あるいは sin θ の偶数乗の形で表すこともできる。 \begin{align} \cos 4 \theta &= 8 \cos^4 \theta-8 \cos^2 \theta+1 & \cos 4 \theta &= 1-8 \sin^2 \theta+8 \sin^4 \theta \end{align} 正弦の4倍角の公式も同様である。 \begin{align} \sin 4 \theta &= \sin (\theta+3 \theta) \\ &= \sin\theta \cos 3 \theta+\cos\theta \sin 3 \theta \\ &= \sin\theta \times (\cos^3 \theta-3 \cos\theta \sin^2 \theta)+\cos\theta \times (3 \cos^2 \theta \sin\theta-\sin^3 \theta) \\ &= 4 \cos^3 \theta \sin\theta-4 \cos\theta \sin^3 \theta \end{align} cos θ の偶数乗と sin θ cos θ の積，あるいは sin θ の偶数乗と sin θ cos θ の積の形で表すこともできる。 \begin{align} \sin 4 \theta &= \sin\theta \cos\theta (8 \cos^2 \theta-4) & \sin 4 \theta &= \sin\theta \cos\theta (4-8 \sin^2 \theta) \end{align}
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多項式全体を表す記号を導入しよう。 xのn次多項式全体を P(n, x) という記号で表すことにする。 最高次の項の係数 an に制限はなく，0でもかまわない。 \[ P(n, x) = \{a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\} \] P(n, x) は集合だが，次の和や積は P(n, x) の要素に対して行った和や積からなる集合を表すとする。 \begin{align} P(2, x)+P(1, x) &= \{(a_2 x^2+a_1 x+a_0)+(b_1 x+b_0)\} \\ k \times P(2, x) &= \{k \times (a_2 x^2+a_1 x+a_0)\} \end{align} P(n, x2) は x の偶数次の項のみでできた多項式の全体， x P(n, x2) は x の奇数次の項のみでできた多項式の全体を表す。 また cos2θ は 1−sin2θ と表すことができ， 反対に sin2θ も 1−cos2θ と表すことができるから， P(n, cos2θ) と P(n, sin2θ) は一致する。 \[ P(n, \cos^2 \theta)=P(n, \sin^2 \theta) \]
2倍角・3倍角等の三角関数の値から， 各々の cos θ や sin θ の次数は次のようになることが予想できる。 θ の偶数倍の角 2nθ に対して次が成り立つ。 cos 2nθ は cos θ または sin θ の偶数次の多項式で， sin 2nθ は cos θ または sin θ の偶数次の多項式に sin θ cos θ を掛けた形で表せる。 \begin{align} \cos 2n \theta &\in P(n, \cos^2 \theta) \\ \sin 2n \theta &\in \sin\theta \cos\theta \; P(n-1, \cos^2 \theta) \end{align} θ の奇数倍の角 (2n+1)θ に対して次が成り立つ。 cos (2n+1)θ は cos θ または sin θ の偶数次の多項式に cos θ を掛けた形で， sin (2n+1)θ は cos θ または sin θ の偶数次の多項式に sin θ を掛けた形で表せる。 \begin{align} \cos (2n+1) \theta &\in \cos\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \\ \sin (2n+1) \theta &\in \sin\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \end{align}
これを証明しよう。 n = 1 の場合，つまり cos 2θ，sin 2θ，cos 3θ，sin 3θ の場合は上の関係は成立しているから， 数学的帰納法で証明しよう。 偶数倍の角 2nθ に対して成立しているとき，奇数倍の角 (2n+1)θ については \begin{align} \cos (2n+1) \theta &= \cos\theta \times \cos 2n \theta-\sin\theta \times \sin 2n \theta \\ &\in \cos\theta \times P(n, \cos^2 \theta)-\sin\theta \times \sin\theta \cos\theta \; P(n-1, \cos^2 \theta) \\ &\subset \cos\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \\ \sin (2n+1) \theta &= \sin\theta \times \cos 2n \theta+\cos\theta \times \sin 2n \theta \\ &\in \sin\theta \times P(n, \cos^2 \theta)+\cos\theta \times \sin\theta \cos\theta \; P(n-1, \cos^2 \theta) \\ &\subset \sin\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \end{align} 奇数倍の角 (2n+1)θ に対して成立しているとき，偶数倍の角 (2n+2)θ については \begin{align} \cos (2n+2) \theta &= \cos\theta \times \cos (2n+1) \theta-\sin\theta \times \sin (2n+1) \theta \\ &\in \cos\theta \times \cos\theta \; P(n, \cos^2 \theta)-\sin\theta \times \sin\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \\ &\subset P(n+1, \cos^2 \theta) \\ \sin (2n+2) \theta &= \sin\theta \times \cos (2n+1) \theta+\cos\theta \times \sin (2n+1) \theta \\ &\in \sin\theta \times \cos\theta \; P(n, \cos^2 \theta)+\cos\theta \times \sin\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \\ &\subset \sin\theta \cos\theta \; P(n, \cos^2 \theta) \end{align} が成り立つので，すべての自然数 n について成り立つ。
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倍角公式を手軽に導くための諸定理を確認しておく。 de Moivre の定理は複素数の n 乗が偏角の n 倍に変換される定理である。 \[ (\cos\theta+i \sin\theta)^n = \cos n \theta+i \sin n \theta \tag{1} \] 二項定理は展開式の係数と二項係数の関係を述べた定理である。 \[ (x+y)^n = \binom{n}{0} x^n+\binom{n}{1} x^{n-1}y+\cdots+\binom{n}{n} y^n \tag{2} \] \(\binom{n}{0}\) と nC0 はともに二項係数を表す記号である。
de Moivre の定理と二項定理を組み合わせると，2倍角・3倍角等の倍角公式が簡単に導き出せる。 \begin{align} \cos n \theta+i \sin n \theta &= (\cos\theta+i \sin\theta)^n \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos\theta)^{n-k} (i \sin\theta)^k \\ &= \binom{n}{0} \cos^n \theta-\binom{n}{2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta+\cdots \\ &\quad {}+i \left[ \binom{n}{1} \cos^{n-1} \theta \sin\theta-\binom{n}{3} \cos^{n-3} \theta \sin^3 \theta+\cdots \right] \end{align} よって実部と虚部を分ければ，次の公式が得られる。 \begin{align} \cos n \theta &= \binom{n}{0} \cos^n \theta-\binom{n}{2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta+\cdots \tag{3}\\ \sin n \theta &= \binom{n}{1} \cos^{n-1} \theta \sin\theta-\binom{n}{3} \cos^{n-3} \theta \sin^3 \theta+\cdots \tag{4} \end{align}
n = 2 のとき，(3)を用いると \begin{align} \cos 2 \theta &= \binom{2}{0} \cos^2 \theta-\binom{2}{2} \sin^2 \theta \\ &= \cos^2 \theta-\sin^2 \theta \end{align} (4)を用いると \begin{align} \sin 2 \theta &= \binom{2}{1} \cos\theta \sin\theta \\ &= 2 \cos\theta \sin\theta \end{align} となる。
n = 3 のとき，(3)を用いると \begin{align} \cos 3 \theta &= \binom{3}{0} \cos^3 \theta-\binom{3}{2} \cos\theta \sin^2 \theta \\ &= \cos^3 \theta-3 \cos\theta \sin^2 \theta \end{align} (4)を用いると \begin{align} \sin 3 \theta &= \binom{3}{1} \cos^2 \theta \sin\theta-\binom{3}{3} \sin^3 \theta \\ &= 3 \cos^2 \theta \sin\theta-\sin^3 \theta \end{align} となる。
n = 4 のとき，(3)を用いると \begin{align} \cos 4 \theta &= \binom{4}{0} \cos^4 \theta-\binom{4}{2} \cos^2 \theta \sin^2 \theta+\binom{4}{4} \sin^4 \theta \\ &= \cos^4 \theta-6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta+\sin^4 \theta \end{align} (4)を用いると \begin{align} \sin 4 \theta &= \binom{4}{1} \cos^3 \theta \sin\theta-\binom{4}{3} \cos\theta \sin^3 \theta \\ &= 4 \cos^3 \theta \sin\theta-4 \cos\theta \sin^3 \theta \end{align} となる。
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2015.12.5 作成 / 2015.12.22 更新
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