1. 双曲線関数
2. 相互関係
3. 加法定理
4. 微分法
双曲線正弦は次の式で定義される。 \[ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \tag{1} \] 双曲線正弦は sinh (−x) = −sinh x が成り立つので奇関数である。 \[ \sinh (-x) = \frac{e^{(-x)}-e^{-(-x)}}{2} = -\frac{e^x-e^{-x}}{2} = -\sinh x \]
双曲線余弦は次の式で定義される。値域は cosh x ≥ 1 である。 \[ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \tag{2} \] 双曲線余弦は cosh (−x) = cosh x が成り立つので偶関数である。 \[ \cosh (-x) = \frac{e^{(-x)}+e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \cosh x \]
双曲線正接は次の式で定義される。値域は −1 < tanh x < 1 である。 \[ \tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \tag{3} \] 双曲線正接は tanh (−x) = −tanh x が成り立つので奇関数である。 \[ \tanh (-x) = \frac{\sinh (-x)}{\cosh (-x)} = \frac{-\sinh x}{\cosh x} = -\tanh x \]
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4. 微分法
定義式より次の関係が成り立つ。 \[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \tag{4} \]
双曲線余弦と双曲線正弦の平方の差を求める。 \[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4} - \frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4} = 1 \] よって次の関係が成り立つ。 \[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \tag{5} \] 三角関数と比較すると符号が異なる。
上の結果を双曲線余弦の平方で割ると，次の関係が導かれる。 \[ 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \tag{6} \] 三角関数と比較すると符号が異なる。
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4. 微分法
三角関数からの類推で加法定理を導くことができる。 次の積を求めておく。 \begin{align} \cosh x \cosh y = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y+e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y}+e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x-y}+e^{-x+y}}{4} \\ \sinh x \sinh y = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y-e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y}+e^{-x-y}}{4}-\frac{e^{x-y}+e^{-x+y}}{4} \\ \sinh x \cosh y = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y+e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x-y}-e^{-x+y}}{4} \\ \cosh x \sinh y = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y-e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{4}-\frac{e^{x-y}-e^{-x+y}}{4} \end{align} 和 x+y と差 x−y の双曲線正弦・双曲線余弦は次のように表せる。 \begin{align} \cosh (x+y) = \frac{e^{x+y}+e^{-x-y}}{2} \\ \cosh (x-y) = \frac{e^{x-y}+e^{-x+y}}{2} \\ \sinh (x+y) = \frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2} \\ \sinh (x-y) = \frac{e^{x-y}-e^{-x+y}}{2} \end{align} これらを互いに比較すると，次の双曲線関数の加法定理が得られる。 \begin{align} \cosh (x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \tag{7}\\ \cosh (x-y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \tag{8}\\ \sinh (x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \tag{9}\\ \sinh (x-y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \tag{10} \end{align} 三角関数と比較すると符号が異なるものがある。
双曲線関数の加法定理から次の関係が成り立つ。 \begin{align} \cosh x \cosh y &= \frac{1}{2}\{ \cosh (x+y) + \cosh (x-y) \} \tag{11}\\ \sinh x \sinh y &= \frac{1}{2}\{ \cosh (x+y) - \cosh (x-y) \} \tag{12}\\ \sinh x \cosh y &= \frac{1}{2}\{ \sinh (x+y) + \sinh (x-y) \} \tag{13}\\ \cosh x \sinh y &= \frac{1}{2}\{ \sinh (x+y) - \sinh (x-y) \} \tag{14} \end{align} 三角関数と比較すると符号が異なるものがある。
双曲線関数の加法定理から次の関係が成り立つ。 \begin{align} \cosh X+\cosh Y &= 2 \cosh \frac{X+Y}{2} \cosh \frac{X-Y}{2} \tag{15}\\ \cosh X - \cosh Y &= 2 \sinh \frac{X+Y}{2} \sinh \frac{X-Y}{2} \tag{16}\\ \sinh X+\sinh Y &= 2 \sinh \frac{X+Y}{2} \cosh \frac{X-Y}{2} \tag{17}\\ \sinh X - \sinh Y &= 2 \cosh \frac{X+Y}{2} \sinh \frac{X-Y}{2} \tag{18} \end{align} 三角関数と比較すると符号が異なるものがある。
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4. 微分法
双曲線正弦の導関数を求める。 \[ (\sinh x)' = \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)' = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh x \] よって次の関係が成り立つ。 \[ (\sinh x)' = \cosh x \tag{19} \]
双曲線余弦の導関数を求める。 \[ (\cosh x)' = \left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right)' = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sinh x \] よって次の関係が成り立つ。 \[ (\cosh x)' = \sinh x \tag{20} \] 三角関数と比較すると符号が異なる。
双曲線正接の導関数を求める。 \[ (\tanh x)' = \left( \frac{\sinh x}{\cosh x} \right)' = \frac{(\sinh x)' \cosh x - \sinh x (\cosh x)'}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} \] よって次の関係が成り立つ。 \[ (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x \tag{21} \]
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2016.8.28 作成 / 2016.8.28 更新
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