1. 確率密度関数の変換

1. 確率密度関数の変換
2. 位置母数
3. 尺度母数
4. 形状母数

累積分布関数

X を確率変数とする。 実数 x に確率 Pr{X ≤ x} を対応させる関数のことを X の累積分布関数（CDF; Cumulative distribution function）あるいは簡単に分布関数という。 X の累積分布関数を F^X(x) あるいは簡単に F(x) と表す。 \[ F(x) = \text{Pr}\{X \le x\} \]

確率密度関数

X の累積分布関数 F(x) が微分可能のとき， 累積分布関数の導関数のことを X の確率密度関数（PDF; Probability density function）という。 X の確率密度関数を f^X(x) あるいは簡単に f(x) と表す。 確率密度関数が存在するなら \[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt \] と表すことができる。 なお離散分布は確率密度関数をもたない。

累積分布関数・確率密度関数の変換

g(x) を連続かつ単調増加な関数とする。 確率変数 X を用いて Y=g⁻¹(X) によって確率変数 Y を定めるとき， Y の分布を X によって表そう。 まず累積分布関数 F(x) については \[ F^Y(x) = \text{Pr}\{Y \le x\} = \text{Pr}\{g(Y) \le g(x)\} = \text{Pr}\{X \le g(x)\} = F^X(g(x)) \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ F^Y(x) = F^X(g(x)),\qquad X=g(Y) \tag{1} \] 確率密度関数 f(x) については \[ f^Y(x) = \frac{d}{dx} F^Y(x) = \frac{d}{dx} F^X(g(x)) = f^X(g(x)) g'(x) \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ f^Y(x) = f^X(g(x))g'(x),\qquad X=g(Y) \tag{2} \]

次のページへ

1 2 3 4 Next

2. 位置母数

1. 確率密度関数の変換
2. 位置母数
3. 尺度母数
4. 形状母数

位置母数

確率分布の特性を表す定数のことを母数という。 確率分布が母数 μ によって決定され， 累積分布関数が F(x; μ) で，（存在するなら）確率密度関数が f(x; μ) で表されるとする。 母数 μ が次の条件を満たすならば μ のことを位置母数（Location parameter）という。 \[ F(x; \mu) = F(x-\mu; 0),\qquad f(x; \mu) = f(x-\mu; 0) \]

位置母数の例（正規分布）

正規分布は2つの母数 μ と σ² で決定されるが，そのうちの1つの μ が位置母数になっている。 \[ f(x; \mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\{(x-\mu)-0\}^2/2\sigma^2} = f(x-\mu; 0) \]

確率変数の変換

確率変数 X の累積分布関数を F^X(x)，確率密度関数を f^X(x) とする。 X に対しては母数は 0 と考える。 \[ F^X(x) = F(x; 0),\qquad f^X(x) = f(x; 0) \] μ を1つの母数とし，g(x) = x−μ とおく。 確率変数 Y = g⁻¹(X) の累積分布関数を F^Y(x)，確率密度関数を f^Y(x) とする。 Y に対しては母数 μ を設定する。 \[ F^Y(x) = F(x; \mu),\qquad f^Y(x) = f(x; \mu) \] このとき，累積分布関数については \[ F^Y(x) = F^X(g(x)) = F^X(x-\mu) \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ F(x; \mu) = F(x-\mu; 0) \tag{1} \] 確率密度関数については \[ f^Y(x) = f^X(g(x)) g'(x) = f^X(x-\mu) \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ f(x; \mu) = f(x-\mu; 0) \tag{2} \] 以上のことから，上の母数 μ は位置母数である。

次のページへ

1 2 3 4 Next

3. 尺度母数

1. 確率密度関数の変換
2. 位置母数
3. 尺度母数
4. 形状母数

尺度母数

確率分布の特性を表す定数のことを母数という。 確率分布が母数 θ によって決定され， 累積分布関数が F(x; θ) で，（存在するなら）確率密度関数が f(x; θ) で表されるとする。 母数 θ が次の条件を満たすならば θ のことを尺度母数（Scale parameter）という。 \[ F(x; \theta) = F(x/\theta; 1),\qquad f(x; \theta) = f(x/\theta; 1) / \theta \]

尺度母数の例（ガンマ分布）

ガンマ分布は2つの母数 k と θ で決定されるが，そのうちの1つの θ が尺度母数になっている。 \[ f(x; \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \varGamma(k)} = \frac{(x/\theta)^{k-1} e^{-(x/\theta)/1}}{1^k \varGamma(k)} \times \frac{1}{\theta} = f(x/\theta; 1) / \theta \]

確率変数の変換

確率変数 X の累積分布関数を F^X(x)，確率密度関数を f^X(x) とする。 X に対しては母数は 1 と考える。 \[ F^X(x) = F(x; 1),\qquad f^X(x) = f(x; 1) \] θ > 0 を1つの母数とし，g(x) = x/θ とおく。 確率変数 Y = g⁻¹(X) の累積分布関数を F^Y(x)，確率密度関数を f^Y(x) とする。 Y に対しては母数 θ を設定する。 \[ F^Y(x) = F(x; \theta),\qquad f^Y(x) = f(x; \theta) \] このとき，累積分布関数については \[ F^Y(x) = F^X(g(x)) = F^X(x/\theta) \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ F(x; \theta) = F(x/\theta; 1) \tag{1} \] 確率密度関数については \[ f^Y(x) = f^X(g(x)) g'(x) = f^X(x/\theta) / \theta \] と変形できるから次が成り立つ。 \[ f(x; \theta) = f(x/\theta; 1) / \theta \tag{2} \] 以上のことから，上の母数 θ は尺度母数である。

Rate parameter

尺度母数の逆数になっている母数のことを Rate parameter という。 λ が rate parameter なら次が成り立つ。 \[ F(x; \lambda) = F(\lambda x; 1),\qquad f(x; \lambda) = f(\lambda x; 1) \times \lambda \]

Rate parameter の例（指数分布）

指数分布は1つの母数 λ で決定されるが，λ が rate parameter になっている。 \[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} = 1 \cdot e^{-1 \cdot (\lambda x)} \times \lambda = f(\lambda x; 1) \times \lambda \]

次のページへ

1 2 3 4 Next

4. 形状母数

1. 確率密度関数の変換
2. 位置母数
3. 尺度母数
4. 形状母数

形状母数

確率分布の特性を表す定数のことを母数という。 位置母数でも尺度母数でもなく，またそれらの関数でもないような母数のことを形状母数（Shape parameter）という。

最後のページです

1 2 3 4 Home