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1. 独立
2. 確率変数の和の分散
2つの事象 A，B が独立であるとは， \[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \] が成り立つことである。
3つの事象 A，B，C が独立であるとは， \begin{gather*} P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)\\ P(A\cap B)=P(A)P(B)\\ P(B\cap C)=P(B)P(C)\\ P(C\cap A)=P(C)P(A) \end{gather*} のすべてが成り立つことである。 なお，2つの事象が独立（P(A∩B)=P(A)P(B)，P(B∩C)=P(B)P(C)，P(C∩A)=P(C)P(A)）であっても，そのことから P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) を導くことはできない。 逆に，条件 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) から P(A∩B)=P(A)P(B) 等を導くこともできない。
事象の列 A1，A2，A3，… が独立であるとは， {1，2，3，…}の任意の有限部分列{i1，i2，…，ik}に対して， \[ P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \tag{1} \] が成り立つことである。
試行の列 T1，T2，T3，… が独立であるとは， 試行 Tj の任意の事象を Aj とすると，A1，A2，A3，… が独立であることをいう。 つまり，{1，2，3，…}の任意の有限部分列{i1，i2，…，ik}に対して， \[ P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \] が成り立つことである。
試行の有限列 T1，T2，…，Tn が条件 P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An) を満たすとする。 事象 An として全事象 Ω を選ぶことができるから， \begin{align*} P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}\cap \varOmega) &=P(A_1)\cdots P(A_{n-1})P(\varOmega)\\ P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}) &=P(A_1)\cdots P(A_{n-1}) \end{align*} となる。 同様にすると，{1，2，…，n}の任意の有限部分列{i1，i2，…，ik}に対して， \[ P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \] が導かれる。 したがって次のように言い換えることができる。 確率変数の有限列 T1，T2，…，Tn が独立であるとは， 試行 Tj の任意の事象 Aj に対して， \[ P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n) \tag{2} \] が成り立つことである。
2つの試行 S，T が独立であるとは，試行Sの任意の事象Aと試行Tの任意の事象Bに対して， \[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \] が成り立つことである。
3つの試行 S，T，U が独立であるとは，試行Sの任意の事象A，試行Tの任意の事象B，試行Uの任意の事象Cに対して， \[ P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C) \] が成り立つことである。
確率変数の列 X1，X2，X3，… が独立であるとは， 任意の区間の列 I1，I2，I3，… に対応する事象の列 {X1∈I1}，{X2∈I2}，{X3∈I3}，… が独立であることをいう。 つまり，{1，2，3，…}の任意の有限部分列{i1，i2，…，ik}に対して， \[ P(X_{i_1}\in I_{i_1},\cdots ,X_{i_k}\in I_{i_k})=P(X_{i_1}\in I_{i_1})\cdots P(X_{i_k}\in I_{i_k}) \] が成り立つことである。
確率変数の有限列 X1，X2，…，Xn が条件 P(X1∈I1,…,Xn∈In)=P(X1∈I1)…P(Xn∈In) を満たすとする。 区間 In として実数全体 R=(−∞,∞) を選ぶと，事象 {Xn∈In} は 全事象 Ω={Xn∈R} に置き換えられるから， \begin{align*} P(X_1\in I_1,\cdots ,X_{n-1}\in I_{n-1},\varOmega) &=P(X_1\in I_1)\cdots P(X_{n-1}\in I_{n-1})P(\varOmega)\\ P(X_1\in I_1,\cdots ,X_{n-1}\in I_{n-1}) &=P(X_1\in I_1)\cdots P(X_{n-1}\in I_{n-1}) \end{align*} となる。 同様にすると，{1，2，…，n}の任意の有限部分列{i1，i2，…，ik}に対して， \[ P(X_1\in I_{i_1},\cdots ,X_{i_k}\in I_{i_k})=P(X_{i_1}\in I_{i_1})\cdots P(X_{i_k}\in I_{i_k}) \] が導かれる。 したがって次のように言い換えることができる。 確率変数の有限列 X1，X2，…，Xn が独立であるとは， 任意の区間の列 I1，I2，I3，… に対して， \[ P(X_1\in I_1,\cdots ,X_n\in I_n)=P(X_1\in I_1)\cdots P(X_n\in I_n) \tag{3} \] が成り立つことである。
区間 I として (−∞,x] の形のものだけ確かめれば十分である。 2つの確率変数 X，Y が独立であるとは，任意の実数 a，b に対して \[ P(X\le a,Y\le b)=P(X\le a)P(Y\le b) \] が成り立つことである。 特に，離散型確率変数の場合は \[ P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b) \] でもよい。
3つの確率変数 X，Y，Z が独立であるとは，任意の実数 a，b，c に対して \[ P(X\le a,Y\le b,Z\le c)=P(X\le a)P(Y\le b)P(Z\le c) \] が成り立つことである。 特に，離散型確率変数の場合は \[ P(X=a,Y=b,Z=c)=P(X=a)P(Y=b)P(Z=c) \] でもよい。
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1. 独立
2. 確率変数の和の分散
離散型確率変数Xの確率分布は，確率関数 p(x)=P(X=x) をもつとする。 期待値 E(X) は次のように定義される。ただし，総和ΣはXのすべての実現値xについての和を表す。 \[ E(X)=\sum \limits _x xp(x) \] 実数値関数 g(x) に対して，期待値 E(g(X)) は次のように定義される。 \[ E(g(X))=\sum \limits _x g(x)p(x) \]
連続型確率変数Xの確率分布は，分布関数 F(x)=P(X≤x) と確率密度関数 f(x) をもつとする。 期待値 E(X) は次のように定義される。 \[ E(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,dF(x)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx \] 実数値関数 g(x) に対して，期待値 E(g(X)) は次のように定義される。 \[ E(g(X))=\int_{-\infty}^\infty g(x)\,dF(x)=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\,dx \]
実数の定数 a，b と確率変数 X について，期待値は次の性質をもつ。 \[ E(aX+b)=aE(X)+b \]
離散型の場合も連続型の場合も，確率変数 X の分散 V(X) は次のように定義される。 \[ V(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \]
期待値の性質より， \begin{align*} V(aX+b) &=E((aX+b-E(aX+b))^2)\\ &=E((aX+b-(aE(X)+b))^2)\\ &=a^2E((X-E(X))^2)\\ &=a^2V(X) \end{align*} であるから，分散は次の性質をもつ。 \[ V(aX+b)=a^2V(X) \]
離散型の2次元確率変数(X,Y)の同時確率分布は，確率関数 p(x,y)=P(X=x,Y=y) をもつとする。 実数値2変数関数 g(x,y) に対して，期待値 E(g(X,Y)) は次のように定義される。ただし，総和ΣΣは(X,Y)のすべての実現値(x,y)についての和を表す。 \[ E(g(X,Y))=\sum \limits _x \sum \limits _y g(x,y)p(x,y) \]
連続型の2次元確率変数(X,Y)の同時確率分布は，分布関数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) と確率密度関数 f(x,y) をもつとする。 実数値2変数関数 g(x,y) に対して，期待値 E(g(X,Y)) は次のように定義される。 \[ E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)f(x,y)\,dx\,dy \]
離散型の2次元確率変数(X,Y)の同時分布が確率関数 p(x,y) で表されるとき，周辺分布の確率関数を p(x,·)，p(·,y) とする。 和 X+Y の期待値は，g(x,y)=x+y を用いて， \begin{align*} E(X+Y) &=\sum_x \sum_y (x+y)p(x,y)\\ &=\sum_x x \sum_y p(x,y)+\sum_y y \sum_x p(x,y)\\ &=\sum_x x\,p(x,\cdot)+\sum_y y\,p(\cdot,y)\\ &=E(X)+E(Y) \end{align*} と表せる。連続型確率変数の場合も同様である。 よって，期待値は次の性質をもつ。 \[ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \] 一般に，確率変数の列 X1，X2，…，Xn に対して，次のことが成り立つ。 \[ E(X_1+X_2+\cdots +X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n) \]
離散型の場合も連続型の場合も，確率変数 X，Y の共分散 Cov(X,Y) は次のように定義される。 \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y) \]
期待値の場合と同様に，共分散は次の性質をもつ。 \[ \operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z),\qquad \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X) \]
離散型確率変数 X，Y が独立のとき，確率関数 p(x,y) について， \[ \text{\(X\)，\(Y\)が独立}\implies p(x,y)=p(x,\cdot)p(\cdot,y) \] が成り立つから，X，Y が独立のとき， \begin{align*} E(XY) &=\sum_x \sum_y xyp(x,y) =\sum_x \sum_y xyp(x,\cdot)p(\cdot,y)\\ &=\sum_x x\,p(x,\cdot)\sum_y y\,p(\cdot,y) =E(X)E(Y) \end{align*} となり，共分散 Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) は0になる。 X，Y が連続型確率変数の場合も同様である。 \[ \text{\(X\)，\(Y\)が独立}\implies \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 \]
離散型の場合も連続型の場合も，確率変数 X の分散 V(X) は次のように定義される。 \[ V(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\operatorname{Cov}(X,X) \]
確率変数 X，Y の和の分散は，共分散を用いて， \begin{align*} V(X+Y) &=\operatorname{Cov}(X+Y,X+Y)\\ &=\operatorname{Cov}(X,X)+\operatorname{Cov}(X,Y)+\operatorname{Cov}(Y,X)+\operatorname{Cov}(Y,Y)\\ &=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) \end{align*} と表せる。 X，Y が独立のとき，Cov(X,Y)=0 となるから，分散は次の性質をもつ。 \[ \text{\(X\)，\(Y\)が独立}\implies V(X+Y)=V(X)+V(Y) \] 一般に，確率変数の列 X1，X2，…，Xn に対して，次のことが成り立つ。 \[ \text{\(X_1,\cdots ,X_n\)が独立}\implies V(X_1+\cdots +X_n)=V(X_1)+\cdots +V(X_n) \]
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2020.1.25 作成 / 2020.1.25 更新
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