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1. 合成積
2. 正数で定義された関数の合成積
3. 離散関数の合成積
実数全体で定義された2つの関数 f(x) と g(x) に対して，次の式で定義される関数を f と g の合成積または畳み込み（Convolution）といい f*g で表す。 \[ (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt \tag{1} \]
合成積 * は関数 f と関数 g の二項演算を表している。 合成積は交換法則 f*g = g*f を満たす。これを示そう。 変数 t と変数 u を t = x−u によって置き換えると \begin{align} (f*g)(x) &= \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt \\ &= \int_\infty^{-\infty} f(x-u) g(u) (-du) \\ &= \int_{-\infty}^\infty g(u) f(x-u) du = (g*f)(x) \end{align} が成り立つから，合成積は交換法則 f*g = g*f を満たす。 \[ (f*g)(x) = (g*f)(x) \tag{2} \]
合成積は結合法則 (f*g)*h = f*(g*h) を満たす。これを示そう。 積分順序を交換し，変数 t と変数 v を t = u+v によって置き換えると \begin{align} ((f*g)*h)(x) &= \int_{-\infty}^\infty (f*g)(t) h(x-t) dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(u) g(t-u) du\right) h(x-t) dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(u) \left(\int_{-\infty}^\infty g(t-u) h(x-t) dt\right) du \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(u) \left(\int_{-\infty}^\infty g(v) h(x-u-v) dt\right) du \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(u) (g*h)(x-u) du = (f*(g*h))(x) \end{align} が成り立つから，合成積は結合法則 (f*g)*h = f*(g*h) を満たす。 \[ ((f*g)*h)(x) = (f*(g*h))(x) \tag{3} \]
合成積 f*g の積分は f の積分と g の積分の積に等しい。これを示そう。 積分順序を交換し，変数 x と変数 u を u = x−t によって置き換えると \begin{align} \int_{-\infty}^\infty (f*g)(x) dx &= \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt\right) dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(t) \left(\int_{-\infty}^\infty g(x-t) dx\right) dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(t) \left(\int_{-\infty}^\infty g(u) du\right) dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(t) dt \int_{-\infty}^\infty g(u) du \end{align} が成り立つ。合成積 f*g の積分は f の積分と g の積分の積に等しい。 \[ \int_{-\infty}^\infty (f*g)(x) dx = \int_{-\infty}^\infty f(x) dx \int_{-\infty}^\infty g(x) dx \tag{4} \]
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1. 合成積
2. 正数で定義された関数の合成積
3. 離散関数の合成積
実数全体で定義された2つの関数 f(x) と g(x) の合成積 f*g は次のものである。 \[ (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt \] 関数 f(x) と g(x) が非負数 x ≥ 0 のみに対して定義されている場合は， その他の部分の値を 0 として定義域を拡大しておく。 \[ x < 0 \implies f(x) = g(x) = 0 \] x < 0 において f(x) = g(x) = 0 である関数 f(x), g(x) の合成積 f*g は次のように表される。 \[ (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt = \int_0^x f(t) g(x-t) dt \tag{1} \]
定義域を x ≥ 0 に制限した場合も，合成積は交換法則 f*g = g*f を満たす。 積分範囲に注意しながら改めて証明しておこう。 変数 t と変数 u を t = x−u によって置き換えると \begin{align} (f*g)(x) &= \int_0^x f(t) g(x-t) dt \\ &= \int_x^0 f(x-u) g(u) (-du) \\ &= \int_0^x g(u) f(x-u) du = (g*f)(x) \end{align} が成り立つから，合成積は交換法則 f*g = g*f を満たす。 \[ (f*g)(x) = (g*f)(x) \tag{2} \]
定義域を x ≥ 0 に制限した場合も，合成積は結合法則 (f*g)*h = f*(g*h) を満たす。 積分範囲に注意しながら改めて証明しておこう。 積分順序を交換し，変数 t と変数 v を t = u+v によって置き換えると \begin{align} ((f*g)*h)(x) &= \int_0^x (f*g)(t) h(x-t) dt \\ &= \int_0^x \left(\int_0^t f(u) g(t-u) du\right) h(x-t) dt \\ &= \int_0^x f(u) \left(\int_u^x g(t-u) h(x-t) dt\right) du \\ &= \int_0^x f(u) \left(\int_0^{x-u} g(v) h(x-u-v) dt\right) du \\ &= \int_0^x f(u) (g*h)(x-u) du = (f*(g*h))(x) \end{align} が成り立つから，合成積は結合法則 (f*g)*h = f*(g*h) を満たす。 \[ ((f*g)*h)(x) = (f*(g*h))(x) \tag{3} \]
定義域を x ≥ 0 に制限した場合も，合成積 f*g の積分は f の積分と g の積分の積に等しい。 積分範囲に注意しながら改めて証明しておこう。 積分順序を交換し，変数 x と変数 u を u = x−t によって置き換えると \begin{align} \int_0^\infty (f*g)(x) dx &= \int_0^\infty \left(\int_0^x f(t) g(x-t) dt\right) dx \\ &= \int_0^\infty f(t) \left(\int_t^\infty g(x-t) dx\right) dt \\ &= \int_0^\infty f(t) \left(\int_0^\infty g(u) du\right) dt \\ &= \int_0^\infty f(t) dt \int_0^\infty g(u) du \end{align} が成り立つ。合成積 f*g の積分は f の積分と g の積分の積に等しい。 \[ \int_0^\infty (f*g)(x) dx = \int_0^\infty f(x) dx \int_0^\infty g(x) dx \tag{4} \]
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1. 合成積
2. 正数で定義された関数の合成積
3. 離散関数の合成積
n = 0, 1, 2, … とする。 2つの数列 x(n) と y(n) に対して，次の式で定義される数列を x(n) と y(n) の合成積または畳み込み（Convolution）といい (x*y)(n) で表す。 \[ (x*y)(n) = \sum_{i=0}^n x(i) y(n-i) \tag{1} \]
離散の場合も，交換法則 x*y = y*x を満たす。 変数 i と変数 j を j = n−i によって置き換えると \[ (x*y)(n) = \sum_{i=0}^n x(i) y(n-i) = \sum_{j=0}^n x(n-j) y(j) = (y*x)(n) \] が成り立つから，合成積は交換法則 x*y = y*x を満たす。 \[ (x*y)(n) = (y*x)(n) \tag{2} \]
離散の場合も，結合法則 (x*y)*z = x*(y*z) を満たす。 総和の順序を交換し，変数 i と変数 k を i = j+k によって置き換えると \begin{align} ((x*y)*z)(n) &= \sum_{i=0}^n (x*y)(i) z(n-i) \\ &= \sum_{i=0}^n \left(\sum_{j=0}^i x(j) y(i-j)\right) z(n-i) \\ &= \sum_{j=0}^n x(j) \left(\sum_{i=j}^n y(i-j) z(n-i)\right) \\ &= \sum_{j=0}^n x(j) \left(\sum_{k=0}^{n-j} y(k) z(n-j-k)\right) \\ &= \sum_{j=0}^n x(j) (y*z)(n-j) \\ &= (x*(y*z))(n) \end{align} が成り立つから，合成積は結合法則 (x*y)*z = x*(y*z) を満たす。 \[ ((x*y)*z)(n) = (x*(y*z))(n) \tag{3} \]
離散の場合も，合成積 x*y の総和は x の総和と y の総和の積に等しい。 総和の順序を交換し，変数 n と変数 j を j = n−i によって置き換えると \begin{align} \sum_{n=0}^\infty (x*y)(n) &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n x(i) y(n-i) \\ &= \sum_{i=0}^\infty x(i) \sum_{n=i}^\infty y(n-i) \\ &= \sum_{i=0}^\infty x(i) \sum_{j=0}^\infty y(j) \end{align} が成り立つ。合成積 x*y の総和は x の総和と y の総和の積に等しい。 \[ \sum_{n=0}^\infty (x*y)(n) = \sum_{n=0}^\infty x(n) \sum_{n=0}^\infty y(n) \tag{4} \]
多項式 P(x) = Σ an xn と Q(x) = Σ bn xn の積 P(x) Q(x) の展開式において n 次の項の係数は合成積 (a*b)n で表される。 \[ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} x^i x^{n-i} = \sum_{n=0}^\infty (a*b)_n x^n \]
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2016.9.22 作成 / 2016.9.25 更新
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