1. 自然数の除法
2. 文科省が指定した除法
3. 正の剰余・負の剰余
4. 除数と同符号の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
（定理） 非負の実数 a と正の実数 b に対して，a−r が b で割り切れるような 0≤r<b の範囲の実数 r が存在する。
（証明） 上のような r が存在すると仮定する。 \[ b\mid a-r,\quad 0\le r<b, \tag{1} \] a−r を b で割った商を q とすると，a−r=bq より r=a−bq であるから， \[ 0\le a-bq<b \] が成り立つ。 q について解くと \[ \frac{a}{b}-1<q\le \frac{a}{b} \] となるので，q は床関数を用いて \[ q=\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor \tag{2} \] と表せる。 逆に，この q に対して r=a−bq と定めると，0≤r<b で，a−r は b で割り切れる。 （証明終）
割られる数 a のことを被除数，割る数 b のことを除数といい，上で求めた q のことを商，r のことを剰余という。 表は幾つかの数を3で割った結果を示したものである。
| 被 A | 除 B | 商 Q | 余 R |
| 5 | 3 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 0 |
| 2 | 3 | 0 | 2 |
| 1 | 3 | 0 | 1 |
| 0 | 3 | 0 | 0 |
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1. 自然数の除法
2. 文科省が指定した除法
3. 正の剰余・負の剰余
4. 除数と同符号の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
文部科学省検定済教科書には，被除数が負の場合の除法について書かれている。 被除数 a が負の場合も正の場合と同様に，商を q=⌊a/b⌋，剰余を 0≤r<b とする。 除数 b が負の場合の除法については何も書かれていない。
| 被 A | 除 B | 商 Q | 余 R |
| 5 | 3 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 0 |
| 2 | 3 | 0 | 2 |
| 1 | 3 | 0 | 1 |
| 0 | 3 | 0 | 0 |
| −1 | 3 | −1 | 2 |
| −2 | 3 | −1 | 1 |
| −3 | 3 | −1 | 0 |
| −4 | 3 | −2 | 2 |
| −5 | 3 | −2 | 1 |
多くのプログラミング言語において，これとは異なる商と剰余が定義されている。
aを整数，bを正の整数とし，aをbで割ったときの商をq，余りをrとすると，a=bq+r， 0≤r<b文部科学省検定済教科書 2 東書 数A 317 ISBN978-4-487-16529-2
整数aと正の整数bに対して，a=bq+r（0≤r<b）を満たす整数q，rをそれぞれ，aをbで割ったときの商，余りという。文部科学省検定済教科書 61 啓林館 数A 325 ISBN978-4-402-07543-9
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1. 自然数の除法
2. 文科省が指定した除法
3. 正の剰余・負の剰余
4. 除数と同符号の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
（定理） 任意の被除数 a と正の除数 b に対して，0≤r<b の範囲の剰余 r が存在する。
（証明） 整数 q を \[ q=\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor \] とすると，q は \[ \frac{a}{b}-1<q\le \frac{a}{b} \] を満たす唯一つの整数である。 r=a−bq とすると， \[ 0\le r<b \] が成り立つ。 除数が b>0 のとき，商が q=⌊a/b⌋，剰余の範囲が 0≤r<b となる除法を定義できる。 （証明終）
（定理） 任意の被除数 a と正の除数 b に対して，−b<r≤0 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明） 整数 q を \[ q=\left \lceil \frac{a}{b}\right \rceil \] とすると，q は \[ \frac{a}{b}\le q<\frac{a}{b}+1 \] を満たす唯一つの整数である。 r=a−bq とすると， \[ -b<r\le 0 \] が成り立つ。 除数が b>0 のとき，商が q=⌈a/b⌉，剰余の範囲が −b<r≤0 となる除法を定義できる。 （証明終）
（定理） 任意の被除数 a と負の除数 b に対して，0≤r<−b の範囲の剰余 r が存在する。
（証明） 整数 q を \[ q=\left \lceil \frac{a}{b}\right \rceil \] とすると，q は \[ \frac{a}{b}\le q<\frac{a}{b}+1 \] を満たす唯一つの整数である。 r=a−bq とすると， \[ 0\le r<-b \] が成り立つ。 除数が b<0 のとき，商が q=⌈a/b⌉，剰余の範囲が 0≤r<−b となる除法を定義できる。 （証明終）
（定理） 任意の被除数 a と負の除数 b に対して，b<r≤0 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明） 整数 q を \[ q=\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor \] とすると，q は \[ \frac{a}{b}-1<q\le \frac{a}{b} \] を満たす唯一つの整数である。 r=a−bq とすると， \[ b<r\le 0 \] が成り立つ。 除数が b<0 のとき，商が q=⌊a/b⌋，剰余の範囲が b<r≤0 となる除法を定義できる。 （証明終）
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4. 除数と同符号の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
正の剰余・負の剰余の選択について特にきまりはなく，どちらを用いるかは任意である。 ここでは除数と剰余が同符号になるような除法を定める。 除数が正（b>0）の場合の剰余を非負（0≤r<b）となるように，除数が負（b<0）の場合の剰余を非正（b<r≤0）となるように，除法を定義することができる。 \begin{align*} b>0 &\implies q=\lfloor a\div b\rfloor,\;0\le r<b\\ b<0 &\implies q=\lfloor a\div b\rfloor,\;b<r\le 0 \end{align*} この型の除法では，剰余 r は除数 b と同符号（a=0 や r=0 も同符号とみなす）になり，商 q は a÷b の負の無限大への切り捨て（Round_Floor）になる。
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一部のプログラミング言語でこの除法が既定になっている。
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5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
除数が正（b>0）の場合の剰余を非負（0≤r<b）となるように，除数が負（b<0）の場合の剰余を非負（0≤r<−b）となるように，除法を定義することができる。 \begin{align*} b>0 &\implies q=\lfloor a\div b\rfloor,\;0\le r<b\\ b<0 &\implies q=\lceil a\div b\rceil,\;0\le r<-b \end{align*} この型の除法では，剰余 r が非負になる。その剰余のことを最小非負剰余という。
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この除法を既定とするプログラミング言語はわずかである。
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4. 除数と同符号の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
被除数が非負で除数が正（a≥0, b>0）の場合の剰余を非負（0≤r<b），被除数が非正で除数が正（a≤0, b>0）の場合の剰余を非正（−b<r≤0）となるように， 被除数が非負で除数が負（a≥0, b<0）の場合の剰余を非負（0≤r<−b），被除数が非正で除数が負（a≤0, b<0）の場合の剰余を非正（b<r≤0）となるように，除法を定義することができる。 \begin{align*} a\ge 0,\;b>0 &\implies q=\lfloor a\div b\rfloor,\;0\le r<b\\ a\le 0,\;b>0 &\implies q=\lceil a\div b\rceil,\;-b<r\le 0\\ a\ge 0,\;b<0 &\implies q=\lceil a\div b\rceil,\;0\le r<-b\\ a\le 0,\;b<0 &\implies q=\lfloor a\div b\rfloor,\;b<r\le 0 \end{align*} この型の除法では，剰余 r は被除数 a と同符号（a=0 や r=0 も同符号とみなす）になり，商 q は a÷b の0への切り捨て（Round_Down）になる。
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多くのプログラミング言語でこの除法が既定になっている。
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3. 除数と同符号の剰余
4. 常に非負の剰余
5. 最小非負剰余
6. 被除数と同符号の剰余
7. 絶対値最小剰余
正または負の除数 b に対して，−|b|/2≤r<|b|/2 または −|b|<r≤|b|/2 の範囲の剰余 r を定義することができ，その剰余のことを絶対値最小剰余という。
（定理） 任意の被除数 a と正の除数 b に対して，−b/2≤r<b/2 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明） 整数 q を \[ q=\left \lfloor \frac{a}{b}+\frac{1}{2}\right \rfloor \] とすると，q は \[ \frac{a}{b}-\frac{1}{2}<q\le \frac{a}{b}+\frac{1}{2} \] を満たす唯一つの整数である。 r=a−bq とすると， \[ -\frac{b}{2}\le r<\frac{b}{2} \] が成り立つ。 除数が b>0 のとき，商が q=⌊a/b+0.5⌋，剰余の範囲が −b/2≤r<b/2 となる除法を定義できる。 （証明終）
（定理） 任意の被除数 a と正の除数 b に対して，−b/2<r≤b/2 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明省略） 除数が b>0 のとき，商が q=⌈a/b−0.5⌉，剰余の範囲が −b/2<r≤b/2 となる除法を定義できる。
（定理） 任意の被除数 a と負の除数 b に対して，b/2≤r<−b/2 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明省略） 除数が b<0 のとき，商が q=⌈a/b−0.5⌉，剰余の範囲が b/2≤r<−b/2 となる除法を定義できる。
（定理） 任意の被除数 a と負の除数 b に対して，b/2<r≤−b/2 の範囲の剰余 r が存在する。
（証明省略） 除数が b<0 のとき，商が q=⌊a/b+0.5⌋，剰余の範囲が b/2<r≤−b/2 となる除法を定義できる。
この型の除法では，商 q は a÷b の最近接丸め（Round_Half_Up または Round_Half_Down）になる。
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この除法を既定とするプログラミング言語はわずかである。
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2015.11.22 作成 / 2020.3.15 更新
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