累乗根

もくじ
1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

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1. 正の累乗根

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

正数の正の累乗根

a は正の実数，n は正の整数とする（n = 1, 2, 3, …）。
正の実数 a に対して \[ x^n =a \] を満たすような正の実数 x が一つだけ存在する。それを a の（正の）n乗根という。 \[ x = \sqrt[n]{a} \]

a > 0，x > 0，n = 1, 2, 3, … のとき \[ x^n =a\iff x = \sqrt[n]{a} \]

平方根

2乗根は平方根ともいう。n＝2 のとき，根号の n は省略してもよい。 \[ \sqrt[2]{a}=\sqrt{a} \] 正の実数 a に対して，x²=a を満たすような x は2個存在するが，正である方を根号で表す。

a > 0 のとき，a の平方根は \[ \sqrt{a},\quad -\sqrt{a} \]

例

6 の平方根は \(\sqrt{6},\;-\sqrt{6}\)

立方根

3乗根は立方根ともいう。
正の実数 a に対して，x³=a を満たすような x は1個だけ存在するので，それを根号で表す。

a > 0 のとき，a の立方根は \[ \sqrt[3]{a} \]

例

64 の立方根は \(4\)

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2. 累乗根の性質

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

累乗根の性質（1）～（5）

a，b は正の実数，m，n は正の整数とするとき，次の性質（1）～（5）が成り立つ。

（1） \((\sqrt[n]{a})^n=a\)
（2） \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)
（3） \(\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
（4） \(\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}\)
（5） \(\sqrt[n]{a\div b}=\sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{b}\)

性質（1）の例

n=2 や n=3 のときは次のことが成り立つ。 \[ (\sqrt{a})^2=a,\qquad (\sqrt[3]{a})^3=a \]

性質（2）の例

たとえば a=8，m=2，n=3 のとき，左辺と右辺の値は一致する。 \[ (\sqrt[3]{8})^2=2^2=4,\qquad \sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4 \] ※ 左辺の括弧内は2，右辺の根号の中身は64になる。

性質（3）の例

たとえば a=512，m=3，n=3 のとき，左辺と右辺の値は一致する。 \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{512}}=\sqrt[3]{8}=2,\qquad \sqrt[3\times 3]{512}=\sqrt[9]{512}=2 \] ※ 左辺の内側の立方根は8になる。

性質（4）の例

性質（4），性質（2），性質（1）を順に使うと，単純な形に変形できる。 \[ \sqrt[2]{45}=\sqrt[2]{3^2\times 5}=\sqrt[2]{3^2}\times \sqrt[2]{5}=(\sqrt[2]{3})^2\times \sqrt[2]{5}=3\sqrt[2]{5} \]

性質（5）の例

性質（5），性質（2），性質（1）を順に使うと，単純な形に変形できる。 \[ \sqrt[3]{0.056}=\sqrt[3]{\frac{7}{5^3}}=\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{\sqrt[3]{7}}{(\sqrt[3]{5})^3}=\frac{\sqrt[3]{7}}{5} \]

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3. 累乗根の性質の証明

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

指数法則（N1）～（N5）

a，b は正の実数，m，n は正の整数とするとき，指数法則（N1）～（N5）が成り立つ。
ただし指数法則（N2）では m > n とする。

（N1） \(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
（N2） \(a^m\div a^n=a^{m-n}\)
（N3） \((a^m)^n=a^{mn}\)
（N4） \((a\times b)^n=a^m\times b^n\)
（N5） \((a\div b)^n=a^m\div b^n\)

指数法則を利用して，累乗根の性質（1）～（5）を証明する。

累乗根の性質（1）の証明

a は正の実数，n は正の整数とするとき，累乗根の性質（1）が成り立つ。

（1） \((\sqrt[n]{a})^n=a\)

証明

\(x = \sqrt[n]{a}\) とすると \(x^n=a\) だから \[ (\sqrt[n]{a})^n=x^n=a \] よって累乗根の性質（1）が成り立つ。

累乗根の性質（2）の証明

a は正の実数，m，n は正の整数とするとき，累乗根の性質（2）が成り立つ。

（2） \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

証明

左辺を x とする。つまり \(x = (\sqrt[n]{a})^m\) とする。
このとき，指数法則（N3）から \[ x^n=\{(\sqrt[n]{a})^m\}^n=(\sqrt[n]{a})^{mn}=\{(\sqrt[n]{a})^n\}^m \] 累乗根の性質（1）を用いると \[ x^n=\{(\sqrt[n]{a})^n\}^m=a^m \] x は a^m の正のn乗根になっているから \[ x=\sqrt[n]{a^m} \] この x は右辺に等しい。 よって累乗根の性質（2）が成り立つ。

累乗根の性質（3）の証明

a は正の実数，m，n は正の整数とするとき，累乗根の性質（3）が成り立つ。

（3） \(\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)

証明

左辺を x とする。つまり \(x = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\) とする。
このとき，指数法則（N3）から \[ x^{mn}=\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^{mn}=\left\{\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m\right\}^n \] 累乗根の性質（1）を繰り返し用いると \[ x^{mn}=\left\{\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m\right\}^n=(\sqrt[n]{a})^n=a \] x は a の正のmn乗根になっているから \[ x=\sqrt[mn]{a} \] この x は右辺に等しい。 よって累乗根の性質（3）が成り立つ。

累乗根の性質（4）の証明

a，b は正の実数，n は正の整数とするとき，累乗根の性質（4）が成り立つ。

（4） \(\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}\)

証明

右辺を x とする。つまり \(x = \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}\) とする。
このとき，指数法則（N4）から \[ x^n=(\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n\times (\sqrt[n]{b})^n \] 累乗根の性質（1）を用いると \[ x^n=(\sqrt[n]{a})^n\times (\sqrt[n]{b})^n=a\times b \] x は a×b の正のn乗根になっているから \[ x=\sqrt[n]{a\times b} \] この x は左辺に等しい。 よって累乗根の性質（4）が成り立つ。

累乗根の性質（5）の証明

a，b は正の実数，n は正の整数とするとき，累乗根の性質（5）が成り立つ。

（5） \(\sqrt[n]{a\div b}=\sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{b}\)

証明

右辺を x とする。つまり \(x = \sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{b}\) とする。
このとき，指数法則（N5）から \[ x^n=(\sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n\div (\sqrt[n]{b})^n \] 累乗根の性質（1）を用いると \[ x^n=(\sqrt[n]{a})^n\div (\sqrt[n]{b})^n=a\div b \] x は a÷b の正のn乗根になっているから \[ x=\sqrt[n]{a\div b} \] この x は左辺に等しい。 よって累乗根の性質（5）が成り立つ。

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4. 偶数乗根と奇数乗根

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

正数の正の累乗根

a は正の実数，n は正の整数（n = 1, 2, 3,…）とする。
x についての方程式 xⁿ=a の解のことをa のn乗根という。
a のn乗根うち，実数かつ正であるものが1つだけ存在するので，それを根号を使って表示する。

a > 0，n = 1, 2, 3, … のとき \[ x^n=a,\;x>0\implies x=\sqrt[n]{a} \]

また，0のn乗根は0だけである。

n = 1, 2, 3, … のとき \[ x^n=0\implies x=0 \]

上の性質は，n が偶数でも奇数でも成り立つ。

偶数乗根

正数の偶数乗根

正数の偶数乗根（nが偶数の場合のn乗根のこと）について。
a > 0，n = 2, 4, 6, … のとき，x を a の正のn乗根とする。つまり \(x=\sqrt[n]{a}\) とする。 \[ x^n=a \] このとき，−x も a のn乗根になっている。 \[ (-x)^n=(-1)^nx^n=x^n=a \] n が偶数の場合は，a のn乗根は \(\sqrt[n]{a}\) と \(-\sqrt[n]{a}\) の2つある。

負数の偶数乗根

負数の偶数乗根について。
実数の偶数乗は必ず0以上になり，負にはならない。
そのため，負数の偶数乗根のうち，実数であるものはない。

偶数乗根

n が正の偶数のとき，a のn乗根は次のようになる。

n = 2, 4, 6, … とする。
a > 0 のとき，a のn乗根は \(\sqrt[n]{a},\;-\sqrt[n]{a}\)
a = 0 のとき，a のn乗根は \(0\)
a < 0 のとき，a のn乗根はない

例

\(9\) の平方根は \(3,\;-3\)
\(0\) の平方根は \(0\)
\(-9\) の平方根はない

奇数乗根

正数の奇数乗根

正数の奇数乗根（nが奇数の場合のn乗根のこと）について。
a > 0，n = 1, 3, 5, … のとき，x を a の正のn乗根とする。つまり \(x=\sqrt[n]{a}\) とする。 \[ x^n=a \] n が奇数の場合は，a のn乗根は \(\sqrt[n]{a}\) だけである。 \[ x=\sqrt[n]{a} \]

負数の奇数乗根

負数の奇数乗根について。
a > 0，n = 1, 3, 5, … のとき，x を a の正のn乗根とする。つまり \(x=\sqrt[n]{a}\) とする。
このとき，−x は −a のn乗根になっている。 \[ (-x)^n=(-1)^nx^n=-x^n=-a \] n が奇数のとき，−a のn乗根は −x だけである。
この値は，−a のn乗根だから \(\sqrt[n]{-a}\) と表すことができ，あるいは，x と符号が反対だから \(-\sqrt[n]{a}\) と表すこともできる。 \[ -x=\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} \]

奇数乗根の場合に限って，根号の中に負数が入っても（\(\sqrt[3]{-8}\)など），許容されることが多い。

奇数乗根

n が正の奇数のとき，a のn乗根は次のようになる。

n = 1, 3, 5, … とする。
a > 0 のとき，a のn乗根は \(\sqrt[n]{a}\)
a = 0 のとき，a のn乗根は \(0\)
a < 0 のとき，a のn乗根は \(\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}\)

例

\(8\) の立方根は \(\sqrt[3]{8}=2\)
\(0\) の立方根は \(0\)
\(-8\) の立方根は \(\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2\)

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5. 累乗根の性質の拡張

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

負数の奇数乗根

n が奇数の場合は，根号の中に負数が入ることも許容されることが多い。

n = 1, 3, 5, … のとき \[ \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} \]

これを利用すると，累乗根の性質は根号の中身が負の場合にも拡張できる。

負数の累乗根の性質（1）～（5）

a，b は正の実数，m，n は正の奇数とするとき，次の性質（1）～（5）が成り立つ。
ただし性質（2）の m は偶数でもよい。

（1） \((\sqrt[n]{-a})^n=-a\)
（2） \((\sqrt[n]{-a})^m=\sqrt[n]{(-a)^m}\)
（3） \(\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{-a}}=\sqrt[mn]{-a}\)
（4） \(\sqrt[n]{-ab}=\sqrt[n]{-a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{-b}\)
（5） \(\displaystyle \sqrt[n]{-\frac{a}{b}}=\sqrt[n]{-a}\div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{-b}\)

性質（1）の証明

\[ (\sqrt[n]{-a})^n=(-\sqrt[n]{a})^n=(-1)^n(\sqrt[n]{a})^n=-a \]

性質（2）の証明

\[ (\sqrt[n]{-a})^m=(-\sqrt[n]{a})^m=(-1)^m(\sqrt[n]{a})^m=(-1)^m\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{(-1)^ma^m}=\sqrt[n]{(-a)^m} \]

性質（3）の証明

\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{-a}}=\sqrt[m]{-\sqrt[n]{a}}=-\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=-\sqrt[mn]{a}=\sqrt[mn]{-a} \]

性質（4）の証明

\[ \sqrt[n]{-ab}=-\sqrt[n]{ab}=-\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{-a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{-b} \]

性質（5）の証明

\[ \sqrt[n]{-\frac{a}{b}}=-\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=-\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{-a}\div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{-b} \]

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6. 指数表現

1. 正の累乗根
2. 累乗根の性質
3. 累乗根の性質の証明
4. 偶数乗根と奇数乗根
5. 累乗根の性質の拡張
6. 指数表現

指数法則（指数は自然数）

a，b は正の実数，m，n は正の整数とするとき，指数法則（N1）～（N5）が成り立つ。
ただし指数法則（N2）では m > n とする。

（N1） \(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
（N2） \(a^m\div a^n=a^{m-n}\)
（N3） \((a^m)^n=a^{mn}\)
（N4） \((a\times b)^n=a^m\times b^n\)
（N5） \((a\div b)^n=a^m\div b^n\)

指数法則（指数は有理数）

指数法則（N1）～（N5）において指数 m，n は正の整数に限られるが，指数の範囲を正の有理数にまで拡張することができる。
ここでは，（N3）を拡張した（Q3）を利用する。 a は正の実数，p，q は正の有理数とする。

（Q3） \((a^p)^q=a^{pq}\)

正数の有理数乗

a は正の実数，m，n は正の整数とする。
a^1/n が定義できて，指数法則（Q3）が成り立つと仮定する。\(x=a^\frac{1}{n}\) とすると \[ x^n=(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n}\times n}=a^1=a \] これを満たす正の実数が1つだけ存在するから，それを a^1/n と定義する。 \[ x=a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a} \] さらに a^m/n が定義できて，指数法則（Q3）が成り立つと仮定すると \[ a^\frac{m}{n}=(a^\frac{1}{n})^m=(\sqrt[n]{a})^m \] a が正数であれば，有理数乗が定義できる。

a > 0，m = 1, 2, 3, …，n = 1, 2, 3, … のとき \[ a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \]

負数の有理数乗が定義できないこと

上の方法によると，有理数乗は累乗根で定義されている。そのため，a が負の場合はうまく定義できない。

例

a^p において，指数を p=1/3 とする。また，p=2/6 と表すこともできる。
等しい指数 p に対して，a^p は等しい値でなければならない。 \[ p=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\implies a^p=a^\frac{1}{3}=a^\frac{2}{6} \] a が負の場合は a^p の値が定まらない。 \[ (-8)^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{-8}=-2,\qquad (-8)^\frac{2}{6}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2 \] a が負数のとき，自然に定義できるのは整数乗までで，有理数乗を定義することは難しい。

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