累積分布関数の連続性

累積分布関数

連続型または離散型の確率変数 X と任意の実数 x に対して，F(x)=P(X≤x) とする。 F(x) を累積分布関数あるいは簡単に分布関数という。F(x) は右側連続である。

G(x)=P(X<x) とすると，G(x) は左側連続である。

G(x)=P(X<x)が左連続であること

G(x)=P(X<x) が左側連続であるとは \[ \lim_{h\uparrow 0}G(x+h)=G(x) \] が成り立つことである。 左側連続であることを確かめるには，x に収束する任意の増加列 x_i に対して， \[ \lim_{n\to \infty}G(x_n)=G(x) \] を示せば十分である。 x に収束する任意の増加列を \[ x_1<x_2<\cdots <x_n<\cdots,\qquad x_n\to x \] とし，X と x_i で定まる事象を A_i とする。 \begin{align*} A_1 &=X^{-1}(-\infty,x_1)=\{X<x_1\}\\ A_2 &=X^{-1}[x_1,x_2)=\{x_1\le X<x_2\}\\ &\qquad \cdots \\ A_n &=X^{-1}[x_{n-1},x_n)=\{x_{n-1}\le X<x_n\}\\ &\qquad \cdots \end{align*} 確率の加法性から \begin{align*} \lim_{n\to \infty} G(x_n) &=\lim_{n\to \infty} P(X<x_n) \\ &=\lim_{n\to \infty} P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) \\ &=\lim_{n\to \infty} P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n) \\ &=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)+\cdots \\ &=P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\cup \cdots) \\ &=P(X<x) \\ &=G(x) \end{align*} が成り立つから，G(x)=P(X<x) は左側連続である。

累積分布関数F(x)=P(X≤x)が右連続であること

F(x)=P(X≤x) が右側連続であるとは \[ \lim_{h\downarrow 0}F(x+h)=F(x) \] が成り立つことである。 右側連続であることを確かめるには，x に収束する任意の減少列 x_i に対して， \[ \lim_{n\to \infty}F(x_n)=F(x) \] を示せば十分である。 x に収束する任意の減少列を \[ x_1>x_2>\cdots >x_n>\cdots,\qquad x_n\to x \] とし，X と x_i で定まる事象を A_i とする。 \begin{align*} A_1 &=X^{-1}(x_1,\infty)=\{x_1<X\}\\ A_2 &=X^{-1}(x_2,x_1]=\{x_2<X\le x_1\}\\ &\qquad \cdots \\ A_n &=X^{-1}(x_n,x_{n-1}]=\{x_n<X\le x_{n-1}\}\\ &\qquad \cdots \end{align*} 確率の加法性から \begin{align*} 1-\lim_{n\to \infty} F(x_n) &=\lim_{n\to \infty} (1-P(X\le x_n)) \\ &=\lim_{n\to \infty} P(X>x_n) \\ &=\lim_{n\to \infty} P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) \\ &=\lim_{n\to \infty} P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n) \\ &=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)+\cdots \\ &=P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\cup \cdots) \\ &=P(X>x) \\ &=1-P(X\le x) \\ &=1-F(x) \end{align*} となって lim_n→∞F(x_n)=F(x) が成り立つから，F(x)=P(X≤x) は右側連続である。

2016.9.20 作成 / 2020.4.29 更新

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